In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.
La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria
viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi
è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di
, la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.
Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.
Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z
![{\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d95f1644653b1aad2dc8adfa28e6922c733f09)
dove
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec36d7348a3c42b2d6475e1a8e7891406eba03b1)
è il q-fattoriale crescente.
La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come
.
Alcuni semplici esempi di queste serie includono
,
![{\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q^{1/2}\\&q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc471ad330c8f9e9e59f74a82c679c8efec1efd)
e
![{\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&-1\\&-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f499e8e04105f2360c4f76bf6d4c460a74eb1993)
Tra le identità più semplici segnaliamo
![{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d258cd3f5c9c5f69f710bfc89f15110ab84254c)
e
![{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7883569834ab07dd306ce5f70f977de06e4f8f60)
Il caso particolare relativo ad
è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.
Ramanujan ha scoperto l'identità
![{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}={\frac {(b/a;q)_{\infty }\;(q;q)_{\infty }\;(q/az;q)_{\infty }\;(az;q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }\;(b/az;q)_{\infty }\;(q/a;q)_{\infty }\;(z;q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e002c5f142c5f5ccd5e4aca799c6fadfaac7e0)
valida per
e
. Una fondamentale identità simile alla precedente concernente
è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come
.
Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.
Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata
![{\displaystyle A(z;q)={\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebff9ca24034f63eaf7fd4e48b405dfc3c6d891b)
In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z
![{\displaystyle \;_{r+1}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{r}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{s}\end{matrix}};q,z\right]:\!=\sum _{n=0}^{\infty }\{(-1)^{n}q^{n \choose 2}\}^{s-r}{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc40f0cf5c026da0b0413d27a6d430579ce5874a)
- Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125.
- Eduard Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
- W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
- Chu WenChang (1998): Basic Almost-Poised Hypergeometric Series, Memoirs of the American Mathematical Society, N. 642, ISBN 0-8218-0811-7.
- THomas Ernst (2001): Licentiate Thesis: The history of the q-calculus and a new method (University of Uppsala)
- W. Chu, L. Di Claudio (2004): Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series[collegamento interrotto] Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce.
- Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724
- George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
- Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's
Summation, (senza data)