In matematica, l'energia di Dirichlet, il cui nome si deve a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, è un funzionale quadratico definito sullo spazio di Sobolev ${\displaystyle H^{1}}$ che è strettamente legato all'equazione di Laplace.

Dato un insieme aperto ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ e una funzione ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$, l'energia di Dirichlet è il numero reale:

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,\mathrm {d} V}$

dove ${\displaystyle \nabla u:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ è il campo vettoriale gradiente di ${\displaystyle u}$. Dal momento che l'integrale è una quantità non-negativa, l'energia di Dirichlet è essa stessa non-negativa, ovvero ${\displaystyle E[u]\geq 0}$ per ogni scelta di ${\displaystyle u}$.

Risolvere l'equazione di Laplace:

${\displaystyle -\Delta u(x)=0\qquad \forall x\in \Omega }$

con appropriate condizioni al contorno, è equivalente alla soluzione del problema variazionale di trovare la funzione ${\displaystyle u}$ che soddisfa le condizioni al contorno e minimizza l'energia di Dirichlet.

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Equazione di Laplace
• Principio di Dirichlet

• (EN) Eric W. Weisstein, Energia di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Lars Diening, Petteri Harjulehto, Peter Hästö, Michael Růžička - Dirichlet Energy Integral and Laplace Equation (Springer)

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