Una disequazione si dice disequazione intera se, messa in forma normale, si presenta nella forma
oppure oppure oppure
dove è un polinomio nella lettera x. In base al grado del polinomio la disequazione intera sarà di primo, secondo, terzo grado,...
Esempi
- è una disequazione intera di primo grado.
- è una disequazione intera di secondo grado.
- è una disequazione intera di terzo grado, ma non in forma normale.
- è una disequazione fratta, in quanto l'incognita è presente anche a denominatore.
Risoluzione disequazioni intere di primo grado
[modifica | modifica wikitesto]Fare riferimento alla voce Disequazione.
Risoluzione disequazioni intere di secondo grado
[modifica | modifica wikitesto]Fare riferimento alla voce disequazione di 2° grado.
Risoluzione disequazioni intere di grado superiore al secondo
[modifica | modifica wikitesto]Vi sono due metodi risolutivi.
Metodo della scomposizione in fattori e dello studio del segno del prodotto
[modifica | modifica wikitesto]La procedura prevede:
- mettere in forma normale la disequazione;
- fattorizzare il polinomio a primo membro in fattori di 1° e/o di 2º grado;
- studiare il segno di ciascun fattore (sempre per o per in relazione alla presenza dell'uguale nella disequazione);
- rappresentare graficamente il segno di tutti i fattori e comporre il segno del prodotto;
- evidenziare quei valori per cui i fattori si annullano con un simbolo particolare (ad esempio O);
- guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.
Esempio 1
[modifica | modifica wikitesto]La disequazione non è in forma normale quindi
Fattorizzazione di .
Studio del segno dei fattori (sempre per ):
- ;
- è una disequazione di 2° grado;
- sempre positiva in .
Soluzioni.
Si chiede che sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono .
Esempio 2
[modifica | modifica wikitesto]La disequazione non è in forma normale quindi
Fattorizzazione di .
- .
Studio del segno dei fattori (sempre per ).
- un quadrato è sempre positivo, nullo per x=0, mai negativo.
- è una disequazione di 2° grado.
- (EA) positiva per .
Soluzioni.
Si chiede che sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono .
Metodo veloce del segno di P(x)
[modifica | modifica wikitesto]La procedura risolutiva prevede:
- mettere in forma normale la disequazione;
- risolvere l'equazione associata (EA) e trovare le soluzioni della EA con la loro molteplicità;
- rappresentare graficamente il segno di partendo sempre da destra con il segno del coefficiente della di grado massimo;
- nello schema grafico cambiare il segno solo quando si incontra una radice (soluzione) di EA con molteplicità dispari;
- guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.
Esempio 3
[modifica | modifica wikitesto]La disequazione non è in forma normale quindi:
Equazione associata (EA)
Si tratta di una equazione binomia con un'unica soluzione con molteplicità 1. Il coefficiente della di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:
Soluzioni.
Si chiede che sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono .
Esempio 4
[modifica | modifica wikitesto]La disequazione è in forma normale.
Equazione associata (EA)
Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione
Le cui soluzioni sono con molteplcità 6 e con molteplcità 1. Il coefficiente della di grado massimo vale -2 (negativo) dunque:
Attenzione: in il segno non cambia perché ha molteplicità 6 (pari).
Soluzioni.
Si chiede che sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono .
Esempio 5
[modifica | modifica wikitesto]La disequazione è in forma normale.
Equazione associata (EA)
Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione
Le cui soluzioni sono con molteplcità 2 e e con molteplcità 1. Il coefficiente della di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:
Attenzione: in il segno non cambia perché ha molteplicità 2 (pari).
Soluzioni.
Si chiede che sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono .
Casi particolari
[modifica | modifica wikitesto]Potenze con esponente pari
[modifica | modifica wikitesto]Questa disequazione presenta a primo membro una potenza con esponente pari. Una potenza con esponente pari è sempre positiva o nulla, mai negativa. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo che non sarà mai verificata.
Potenze con esponente dispari
[modifica | modifica wikitesto]Questa disequazione presenta al primo membro una potenza con esponente dispari. Una potenza con esponente dispari segue il segno della base. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo sarà verificata quando
Disequazioni intere con polinomio già fattorizzato
[modifica | modifica wikitesto]Questa disequazione presenta a primo membro già un polinomio fattorizzato. In questo caso conviene usare il metodo del segno dei fattori
- è una potenza con esponente pari, dunque positiva sempre eccetto in dove vale 0;
- è una potenza con esponente dispari, dunque segue il segno della base ;
- è una potenza con esponente pari, dunque sempre positiva o nulla per .
Soluzioni.
deve essere negativo, quindi per .
Disequazioni di quarto grado riconducibili al secondo
[modifica | modifica wikitesto]Un caso particolare di disequazione di quarto grado è il seguente:
- (oppure ).
Questo tipo di disequazioni si risolve effettuando una divisione membro a membro per , ossia:
e quindi, semplificando e raccogliendo i fattori comuni si ottiene:
poi si prosegue ponendo e come segue:
- , da cui (elevando al quadrato entrambi i membri) si ottiene:
Sostituendo e nella disequazione precedente si ha una comune disequazione di secondo grado:
Dopo aver risolto la disequazione di secondo grado operiamo la sostituzione inversa di (è molto importante fare attenzione al dominio di risoluzione della disequazione di secondo grado).
Se nella disequazione ottenuta non compare il termine di secondo grado:
allora si raccolgono i fattori comuni e si ottiene:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (IT) Dodero, Baroncini, Manfredi (1999): Lineamenti di Matematica 2 per il biennio delle scuole superiori, 2th edition, Ghisetti e Corvi Editori
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- sito con videolezioni sulle disequazioni appuntidimatematica.org