Una disequazione si dice disequazione di 2º grado o quadratica se in essa, una volta ridotta in una delle forme seguenti, compaiono termini quadratici, cioè potenze di ordine massimo uguale a 2.
Tutte le disequazioni quadratiche sono riconducibili, tramite le consuete semplificazioni a una forma del tipo:
Segno del trinomio di 2º grado
[modifica | modifica wikitesto]È dato il trinomio con . Si vuole studiare il segno del trinomio, cioè si vuole individuare per quali valori di x il trinomio è positivo negativo o nullo. Anzitutto si calcolano le soluzioni dell'equazione associata:
- .
Si distinguono tre casi: , e .
Caso: delta positivo
[modifica | modifica wikitesto]Se il l'equazione associata ha due soluzioni reali e distinte e . In questo caso il trinomio è scomponibile secondo la formula
- .
Per studiare il segno del trinomio basta studiare il segno del prodotto. Attenzione ci sono tre fattori: a, e , il segno del prodotto si calcola mediante la nota regola dei segni. Infine bisogna ricordare che quando almeno uno dei fattori si annulla anche il prodotto, e quindi il trinomio, si annulla.
Il tutto è riassunto nelle due tabelle sottostanti.
Intervalli dell'asse reale | |||||
---|---|---|---|---|---|
segno di a | +++ | +++ | +++ | ||
segno di | --- | 0 | +++ | +++ | |
segno di | --- | --- | 0 | +++ | |
segno del prodotto segno del trinomio |
+++ | 0 | --- | 0 | +++ |
Intervalli dell'asse reale | |||||
---|---|---|---|---|---|
segno di a | --- | --- | --- | ||
segno di | --- | 0 | +++ | +++ | |
segno di | --- | --- | 0 | +++ | |
segno del prodotto segno del trinomio |
--- | 0 | +++ | 0 | --- |
Osservazione. Il segno del trinomio ha lo stesso segno del coefficiente all'esterno dell'intervallo delle due soluzioni dell'equazione associata, cioè per , nell'intervallo delle due soluzioni il trinomio ha segno opposto a quello di .
Caso: delta nullo
[modifica | modifica wikitesto]Se il l'equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti (si dice che è una soluzione doppia o ha molteplicità 2). In questo caso il trinomio è scomponibile secondo la formula
- .
È fondamentale ricordarsi che il quadrato è sempre positivo o nullo, mai negativo. Il quadrato si annulla in .
Intervalli dell'asse reale | |||
---|---|---|---|
segno di a | +++ | +++ | |
segno di | +++ | 0 | +++ |
segno del prodotto segno del trinomio |
+++ | 0 | +++ |
Intervalli dell'asse reale | |||
---|---|---|---|
segno di a | --- | --- | |
segno di | +++ | 0 | +++ |
segno del prodotto segno del trinomio |
--- | 0 | --- |
Osservazione. In questo caso il segno del trinomio ha lo stesso segno del coefficiente eccetto in dove il trinomio si annulla.
Caso: delta negativo
[modifica | modifica wikitesto]Se il l'equazione associata non ha soluzioni reali. È però possibile valutare comunque il segno del trinomio evidenziandolo come somma di quadrati.
Dal trinomio si raccoglie
Si aggiunge e si toglie la quantità in modo da completare il quadrato
I primi tre termini sono lo sviluppo di un quadrato
Ricordando che si ottiene
Notare che nella somma il primo termine è un quadrato (dunque sempre positivo o nullo) e il secondo termine è sempre positivo in quanto il è negativo per ipotesi. Questa somma è dunque sempre positiva.
Il segno del prodotto e quindi del trinomio dipende unicamente dal coefficiente .
Ricapitolando quando
- il trinomio sarà SEMPRE POSITIVO se
- il trinomio sarà SEMPRE NEGATIVO se
Osservazione. In questo caso il trinomio ha SEMPRE lo stesso segno del coefficiente .
Osservazioni pratiche valide per tutti e tre i casi
[modifica | modifica wikitesto]- Nello schema grafico del segno del trinomio si parte (a destra) e si termina (a sinistra) sempre con il segno di .
- Se ci sono due soluzioni dell'equazione associata, tra le due soluzioni va messo il segno discorde a quello di .
- Se non ci sono soluzioni dell'equazione associata si mette sempre e solo il segno di .
Tabella riepilogativa del segno del trinomio
[modifica | modifica wikitesto]segno di | |||
---|---|---|---|
asse x __x1___x2___ segno +++0----0++++ |
asse x ___x1___ segno ++++0+++ |
asse x _____ segno +++++ | |
asse x __x1___x2___ segno ---0++++0---- |
asse x ___x1___ segno ----0--- |
asse x _____ segno ----- |
Metodi di risoluzione delle disequazioni di secondo grado
[modifica | modifica wikitesto]Si consideri una disequazione di secondo grado scritta in forma normale:
- e .
La seguente procedura vale anche per gli altri tre casi con .
Metodo del segno del coefficiente a
[modifica | modifica wikitesto]- Portare alla forma normale la disequazione di 2º grado
- Risolvere l'equazione associata
- Tracciare lo schema grafico del segno del trinomio
- Scegliere l'intervallo delle soluzioni in base al verso della disequazione.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Discriminante positivo
[modifica | modifica wikitesto]Esempio 1: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- Soluzioni dell'equazione associata , .
Schema del segno del trinomio
asse x _____2______3_____ segno ++++++0------0+++++
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono i valori interni a 2 e 3, inclusi gli estremi: .
Altri esempi con
[modifica | modifica wikitesto]Esempio 2: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- Soluzioni dell'equazione associata , .
Schema del segno del trinomio
asse x ____-1____2____ segno -----O++++0----
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia negativo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono i valori esterni a -1 e 2, esclusi gli estremi: .
Esempio 3: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- è una equazione pura con a e c discordi
- Soluzioni dell'equazione associata , .
Schema del segno del trinomio
asse x ____-2____2____ segno -----O++++0----
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono i valori interni a -2 e 2, inclusi gli estremi: .
Discriminante nullo
[modifica | modifica wikitesto]Esempio 4: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- Soluzioni dell'equazione associata doppia.
Schema del segno del trinomio
asse x ____1____ segno +++++0++++
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo, quindi .
Altri esempi con
[modifica | modifica wikitesto]Esempio 5: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- Soluzioni dell'equazione associata doppia.
Schema del segno del trinomio
asse x ____1____ segno ++++0++++
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia negativo, quindi la disequazione è impossibile .
Esempio 6: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- Soluzioni dell'equazione associata doppia.
Schema del segno del trinomio
asse x ___-3____ segno ----0----
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo o nullo, quindi la disequazione ha soluzione solo .
Esempio 7: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- Soluzioni dell'equazione associata doppia.
Schema del segno del trinomio
asse x ___-3____ segno ----0----
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia negativo o nullo, quindi la disequazione ha soluzione .
Discriminante negativo
[modifica | modifica wikitesto]Esempio 8: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- , non ci sono soluzioni dell'equazione associata.
Schema del segno del trinomio
asse x ________ segno --------
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo, quindi la disequazione non ha soluzioni.
Altri esempi con
[modifica | modifica wikitesto]Esempio 9: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- , non ci sono soluzioni dell'equazione associata.
Schema del segno del trinomio
asse x ________ segno ++++++++
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia positivo o nullo, quindi la disequazione ha soluzioni .
Esempio 10: . La disequazione è già in forma normale
Equazione associata:
- , si tratta di una equazione pura con a e c concordi quindi non ci sono soluzioni dell'equazione associata.
Schema del segno del trinomio
asse x ______ segno ------
Soluzioni Si chiede che il trinomio sia negativo, quindi la disequazione ha soluzioni .
Metodo della parabola
[modifica | modifica wikitesto]Si consideri la disequazione e la parabola . In questo caso la disequazione è risolta quando il trinomio di 2º grado è positivo, cioè quando y (l'ordinata) è positiva, graficamente quando la parabola sta sopra l'asse x.
Coefficiente | |||
---|---|---|---|
per | per | ||
per | per | ||
per | |||
per | per | ||
per | per | ||
per | per |
Procedura per la risoluzione delle disequazioni di 2º grado con la parabola:
- Mettere la disequazione in forma normale
- Scrivere l'equazione della parabola
- Stabilire il segno di a
- Trovare le eventuali ascisse dei punti intersezione della parabola con l'asse x
- Tracciare il grafico approssimativo della parabola (concaviltà e intersezioni asse x)
- Determinare le ascisse dei punti della parabola che hanno l'ordinata richiesta (y>0 o y<0)
Disequazione di quarto grado riconducibile ad un trinomio notevole
[modifica | modifica wikitesto]Data una disequazione di quarto grado, con l'incognita elevata solamente alla quarta ed alla seconda, tale disequazione può essere ricondotta ad un'altra disequazione, la cui incognita è il quadrato dell'incognita della disequazione di partenza.
Esempio
Sostituendo si ha
che si risolve come una normale disequazione facendo attenzione però che, alla fine, bisognerà sostituire i risultati ottenuti con .
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Dodero, Baroncini, Manfredi, Lineamenti di Matematica 2 per il biennio delle scuole superiori, 2ª edizione, Ghisetti e Corvi Editori, 1999
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Equazione quadratica
- Disequazione
- Disequazione cubica
- Disequazione intera
- Disequazione biquadratica
- Disequazione irrazionale
- Trinomio notevole
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]- Wikiversità contiene risorse su disequazione quadratica