Caustica riflessiva generata da un cerchio e da raggi paralleli In geometria differenziale e ottica geometrica , una caustica è l'inviluppo di raggi riflessi o rifratti da una varietà . È legata al concetto di caustica in ottica . La sorgente del raggio può essere un punto (chiamato radiante) o raggi paralleli da un punto all'infinito, nel qual caso deve essere specificato un vettore di direzione dei raggi.
Più in generale, specialmente quando applicata alla geometria simplettica e alla teoria delle singolarità , una caustica è l'insieme dei valori critici della mappatura lagrangiana (π ○ i ) : L ↪ M ↠ B ; dove i : L ↪ M immersione lagrangiana di una sottovarietà lagrangiana L in una varietà simplettica M , e π : M ↠ B fibrazione lagrangiana della varietà simplettica M . La caustica è un sottoinsieme dello spazio di base B della fibrazione lagrangiana.[ 1]
Una catacaustica è il caso riflessivo.
Con un radiante, è l'evoluta dell'ortotomica del radiante.
Il caso dei raggi planari, paralleli alla sorgente: si supponga che il vettore di direzione sia
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
u
(
t
)
,
v
(
t
)
)
{\displaystyle (u(t),v(t))}
(
−
v
′
(
t
)
,
u
′
(
t
)
)
{\displaystyle (-v'(t),u'(t))}
2
proj
n
d
−
d
=
2
n
n
⋅
n
n
⋅
d
n
⋅
n
−
d
=
2
n
n
⋅
d
n
⋅
n
−
d
=
(
a
v
′
2
−
2
b
u
′
v
′
−
a
u
′
2
,
b
u
′
2
−
2
a
u
′
v
′
−
b
v
′
2
)
v
′
2
+
u
′
2
{\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}
Facendo trattare alle componenti del vettore riflesso trovato con me una tangente
(
x
−
u
)
(
b
u
′
2
−
2
a
u
′
v
′
−
b
v
′
2
)
=
(
y
−
v
)
(
a
v
′
2
−
2
b
u
′
v
′
−
a
u
′
2
)
.
{\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}
Usando la forma più semplice di inviluppo
F
(
x
,
y
,
t
)
=
(
x
−
u
)
(
b
u
′
2
−
2
a
u
′
v
′
−
b
v
′
2
)
−
(
y
−
v
)
(
a
v
′
2
−
2
b
u
′
v
′
−
a
u
′
2
)
{\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}
=
x
(
b
u
′
2
−
2
a
u
′
v
′
−
b
v
′
2
)
−
y
(
a
v
′
2
−
2
b
u
′
v
′
−
a
u
′
2
)
+
b
(
u
v
′
2
−
u
u
′
2
−
2
v
u
′
v
′
)
+
a
(
−
v
u
′
2
+
v
v
′
2
+
2
u
u
′
v
′
)
{\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}
F
t
(
x
,
y
,
t
)
=
2
x
(
b
u
′
u
″
−
a
(
u
′
v
″
+
u
″
v
′
)
−
b
v
′
v
″
)
−
2
y
(
a
v
′
v
″
−
b
(
u
″
v
′
+
u
′
v
″
)
−
a
u
′
u
″
)
+
b
(
u
′
v
′
2
+
2
u
v
′
v
″
−
u
′
3
−
2
u
u
′
u
″
−
2
u
′
v
′
2
−
2
u
″
v
v
′
−
2
u
′
v
v
″
)
+
a
(
−
v
′
u
′
2
−
2
v
u
′
u
″
+
v
′
3
+
2
v
v
′
v
″
+
2
v
′
u
′
2
+
2
v
″
u
u
′
+
2
v
′
u
u
″
)
{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}
che può essere antiestetico, ma
F
=
F
t
=
0
{\displaystyle F=F_{t}=0}
sistema lineare in
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
regola di Cramer .
Il vettore di direzione sia (0,1) e lo specchio sia
(
t
,
t
2
)
.
{\displaystyle (t,t^{2}).}
u
′
=
1
{\displaystyle u'=1}
u
″
=
0
{\displaystyle u''=0}
v
′
=
2
t
{\displaystyle v'=2t}
v
″
=
2
{\displaystyle v''=2}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
1
{\displaystyle b=1}
F
(
x
,
y
,
t
)
=
(
x
−
t
)
(
1
−
4
t
2
)
+
4
t
(
y
−
t
2
)
=
x
(
1
−
4
t
2
)
+
4
t
y
−
t
{\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}
F
t
(
x
,
y
,
t
)
=
−
8
t
x
+
4
y
−
1
{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}
e
F
=
F
t
=
0
{\displaystyle F=F_{t}=0}
(
0
,
1
/
4
)
{\displaystyle (0,1/4)}
cioè , la luce che entra in uno specchio parabolico parallelo al suo asse è riflesso attraverso il fuoco.
