Grande rombidodecaedro

Grande rombidodecaedro
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	30 quadrati 12 decagrammi
Nº facce	42
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-18
Incidenza dei vertici	4.10/3.4/3.10/7
Notazione di Wythoff	2 5/3 (3/2 5/4) |
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande rombidodecacrono
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il grande rombidodecaedro è un poliedro stellato uniforme avente 42 facce - 30 quadrate e 12 forma di decagramma - 120 spigoli e 60 vertici.^[1]

Utilizzando la costruzione di Wythoff, il grande rombidodecaedro si può ottenere utilizzando tre famiglie di triangoli di Schwarz: 2 5/3 3/2 | e 2 5/3 5/4 |, ottenendo sempre lo stesso risultato.

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande rombidodecaedro sono date da tutte le permutazioni di:

${\displaystyle \left(\,\pm (2\varphi -3),\,\pm 1,\,\pm 1\,\right).}$

così come tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (3-\varphi )\,\right).}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm 2(\varphi -1),\,\pm (2-\varphi )\,\right).}$

dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea.

Il grande rombidodecaedro, spesso indicato con il simbolo U₇₃, ha la stessa disposizione di vertici di altri tre poliedri uniformi, ossia il grande dodecicosidodecaedro, il grande dodecaedro troncato e il grande rombicosidodecaedro stellato, nonché di altri due composti uniformi, ossia il composto di sei prismi pentagonali e il composto di dodici prismi pentagonali. Con il grande dodecicosidodecaedro e con il grande rombicosidodecaedro stellato, esso condivide anche la posizione degli spigoli, avendo in comune con il primo anche la disposizione delle sue facce decagrammiche, e con il secondo quella delle sue facce quadrate.

Grande rombicosidodecaedro stellato	Grande dodecicosidodecaedro	Grande rombidodecaedro
Grande dodecaedro troncato	Composto di sei prismi pentagonali	Composto di dodici prismi pentagonali

Grande rombidodecacrono
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Antiparallelogrammi
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	42
Caratteristica di Eulero	-18
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande rombidodecaedro
Manuale

Il grande rombidodecacrono è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande rombidodecaedro, avente per facce 60 antiparallelogrammi.^[2] Dato un grande rombidodecaedro di spigolo pari a 1, immaginando il grande rombidodecacrono come composto da 60 facce intersecanti a forma di antiparallelogramma, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno due coppie di angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}})\approx 18,699\,407\,085\,15^{\circ }}$ e ${\displaystyle \arccos(-{\frac {5}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {5}})\approx 110,211\,801\,805\,89^{\circ }}$, con il rapporto tra lati lunghi e lati corti pari a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}}$ e le due diagonali che si incontrano con un angolo di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{8}}+{\frac {9{\sqrt {5}}}{40}})\approx 51,088\,791\,108\,96^{\circ }}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande rombidodecaedro, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grande rombidodecacrono, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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