Funzione cubica

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In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da un'espressione della forma

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$

dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado. La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica, mentre l'integrale indefinito di una funzione cubica è una funzione di quarto grado.

La derivata della funzione cubica, ${\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c}$ e la richiesta ${\displaystyle f'(x)=0}$ implicano

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac\ }}}{3a}}}$ .

Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica, può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che

se ${\displaystyle b^{2}-3ac>0\,}$, allora la funzione cubica ha due punti critici, un massimo locale e un minimo locale;

se ${\displaystyle b^{2}-3ac<0}$, allora non vi sono punti critici.

se ${\displaystyle b^{2}-3ac=0}$, allora non vi sono estremanti, ma vi è un punto di flesso in ${\displaystyle -b/3a}$

La curva di equazione

${\displaystyle y^{2}=x(x-a)(x-b)}$ dove ${\displaystyle 0<a<b}$

viene chiamata cubica bipartita. Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche.

Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione

${\displaystyle g(x)={\sqrt {x(x-a)(x-b)}}}$

corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale

${\displaystyle (0,a)\cup (b,+\infty ).}$

La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche è piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica.

Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}$

Valutiamo

${\displaystyle q={\frac {3ac-b^{2}}{9a^{2}}}}$ e

${\displaystyle r={\frac {9abc-27a^{2}d-2b^{3}}{54a^{3}}}}$

e successivamente

${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}}$ e

${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}}$ .

Le soluzioni sono date da

${\displaystyle x_{1}=s+t-{\frac {b}{3}}}$

${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i}$

${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i}$

• Equazione di terzo grado
• Funzione spline

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «funzione cubica»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione cubica

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione cubica, su MathWorld, Wolfram Research.

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