Distribuzione Poisson-Gamma

In teoria della probabilità la distribuzione Poisson-Gamma è una distribuzione di probabilità discreta che svolge un importante ruolo nell'ambito dell'inferenza bayesiana. È la distribuzione di probabilità associata a una variabile casuale poissoniana, Poiss(λ), in cui il parametro λ non è costante ma varia come una variabile casuale Gamma; in altre parole è una mistura di Poisson in cui il parametro λ ha distribuzione Gamma. Si tratta di una generalizzazione della distribuzione casuale binomiale negativa al caso di parametri non interi.

La funzione di probabilità è data da

P(X=x|a,b,\nu )=\left({\frac {b}{b+\nu }}\right)^{a}{\frac {1}{\Gamma (a)}}{\frac {\Gamma (a+x)}{x!}}\left({\frac {\nu }{b+\nu }}\right)^{x}

dove $a>0$ e $b>0$ .

Il valore atteso è dato da

E(X)=\nu {\frac {a}{b}}

e la varianza

Var(X)=a{\frac {\nu }{b}}\left(1+{\frac {\nu }{b}}\right)=E(X)\left(1+{\frac {\nu }{b}}\right)

e dunque in questo caso la varianza è sempre maggiore del valore atteso, al contrario di guanto accade per la distribuzione di Poisson dove questi due parametri coincidono.

Nel caso particolare in cui $a$ è un numero intero, si ha che $X+a\sim NBin\left(a,{\frac {b}{b+\nu }}\right)$ , dove NBin indica la variabile casuale binomiale negativa, motivo per la quale la Poisson-Gamma può essere vista come la generalizzazione della binomiale negativa ai numeri reali.

Bibliografia

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Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, con la collaborazione di Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2