Misura complessa

In matematica, in particolare nella teoria della misura, una misura complessa è una generalizzazione del concetto di misura nella quale si ammette che possa assumere valori complessi.

Una misura complessa è una funzione ${\displaystyle \mu :{\mathfrak {F}}\to \mathbb {C} }$ numerabilmente additiva a valori complessi definita su una sigma-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ in un insieme ${\displaystyle X}$.^[1]

L'additività numerabile, o σ-additività, significa che se ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots }$ è una successione di insiemi mutuamente disgiunti in ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, allora:^[2]

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (E_{i})}$

Si richiede la convergenza della serie al secondo membro e la convergenza di ogni suo riarrangiamento, tale convergenza è inoltre assoluta.

Si definisce variazione di una misura o misura di variazione la funzione:^[3]

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup \sum _{i=1}^{+\infty }|\mu (E_{i})|}$

dove l'unione degli insiemi disgiunti ${\displaystyle E_{i}\ }$ è ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$.

Si dimostra che tale funzione è una misura positiva, e gode inoltre della proprietà che:

${\displaystyle |\mu |(X)<\infty }$

Inoltre, il fatto che:

${\displaystyle |\mu (E)|\leq |\mu |(E)\leq |\mu |(X)}$

implica che ogni misura complessa su una sigma-algebra è limitata.

Si definiscono rispettivamente variazione positiva e variazione negativa di ${\displaystyle \mu }$ le misure:

${\displaystyle \mu ^{+}={\frac {1}{2}}(|\mu |+\mu )\qquad \mu ^{-}={\frac {1}{2}}(|\mu |-\mu )}$

La misura è in questo modo decomposta in due misure positive, e si ha:

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}\qquad |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

Una tale decomposizione è detta decomposizione di Jordan.^[4]

Nello stesso modo in cui un numero complesso può essere rappresentato in forma polare, si può avere una decomposizione polare per una misura complessa. Esiste infatti una funzione misurabile ${\displaystyle \theta }$ a valori reali tale che:

${\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |}$

e dunque si ha:

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}$

per ogni funzione assolutamente integrabile ${\displaystyle f}$, cioè tale che:

${\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty }$

Per la dimostrazione che una variazione è una misura e l'esistenza della decomposizione polare si può usare il teorema di Radon-Nikodym.

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Lebesgue.

Si può definire l'integrale di Lebesgue rispetto ad una misura complessa utilizzando il concetto già sviluppato dell'integrale di una funzione a valori reali rispetto a una misura non negativa. A tal fine si dimostra che la parte reale ${\displaystyle \mu _{1}}$ e immaginaria ${\displaystyle \mu _{2}}$ di una misura complessa ${\displaystyle \mu }$ sono misure con segno a valori finiti. Si può quindi applicare la decomposizione Hahn-Jordan per spezzare tale misura:

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}\qquad \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}$

dove ${\displaystyle \mu _{1}^{+}}$, ${\displaystyle \mu _{1}^{-}}$, ${\displaystyle \mu _{2}^{+}}$ e ${\displaystyle \mu _{2}^{-}}$ sono misure non negative a valori finiti.

L'integrale di Lebesgue può allora essere immediatamente esteso al caso di funzioni complesse. Sia ${\displaystyle f}$ una funzione dall'insieme misurabile ${\displaystyle E}$ alla retta reale estesa. Allora è possibile scrivere:

${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}\ }$

dove:

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$

Entrambe le funzioni sono non negative, e si ha:

${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}\ }$

Sia ora:

${\displaystyle f=u+iv\in L^{1}(\mu )}$

dove ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono funzioni reali misurabili in ${\displaystyle E}$ .

Si definisce integrale di Lebesgue di ${\displaystyle f}$ la relazione:^[5]

${\displaystyle \int _{E}fd\mu =\int _{E}u^{+}d\mu -\int _{E}u^{-}d\mu +i\int _{E}v^{+}d\mu -i\int _{E}v^{-}d\mu \ }$

per ogni insieme misurabile ${\displaystyle E}$ .

La definizione è motivata dal fatto che se ${\displaystyle f=u+iv}$ con ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono funzioni reali misurabili su ${\displaystyle E}$, allora ${\displaystyle f}$ è una funzione complessa e misurabile su ${\displaystyle E}$. Inoltre, se ${\displaystyle f}$ è una funzione complessa e misurabile su ${\displaystyle E}$, allora ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle |f|}$ sono funzioni reali misurabili su ${\displaystyle E}$. Questo discende dal fatto che una funzione continua definita dalla composizione di funzioni misurabili è misurabile.^[6]

La somma di due misure complesse è una misura complessa, come anche il prodotto di una misura complessa per un numero complesso. L'insieme di tutte le misure complesse su uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ forma quindi uno spazio vettoriale. Definendo la funzione variazione totale ${\displaystyle \|\mu \|}$ nel seguente modo:

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}$

essa è una norma rispetto alla quale lo spazio delle misure complesse diventa uno spazio di Banach.

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• Misura (matematica)
• Misura con segno
• Sigma additività
• Teorema di Radon-Nikodym
• Teorema di rappresentazione di Riesz

• (EN) Misura complessa su MathWorld

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