Principio di minimo vincolo

Il principio del minimo vincolo, enunciato nel 1829 da Carl Friedrich Gauss, è un principio variazionale della meccanica razionale, ottenuto tramite metodo dei minimi quadrati, la cui formulazione è equivalente principio di d'Alembert. Esso riveste un ruolo rilevante all'interno della meccanica lagrangiana e, qualitativamente, è simile al principio di minima azione, tuttavia quest'ultimo rappresenta una condizione di tipo estremale assoluto, mentre il principio del minimo vincolo è un principio di minimo locale.

Il principio del minimo vincolo afferma che le reali accelerazioni di un sistema meccanico formato da ${\displaystyle n}$ masse si ottengono minimizzando la seguente quantità:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}}$

dove la particella j-esima ha massa ${\displaystyle m_{j}}$, posizione ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ e forza applicata non vincolata ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$ agente su di essa. La corrispondente accelerazione ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{j}}$ soddisfa il vincolo imposto, che generalmente dipende dallo stato del sistema, individuato dalla coppia ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}}$.

Ciò si ricollega al fatto che quando sul sistema agiscono le forze ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$, e le relative reazioni vincolari ${\displaystyle \mathbf {F_{c}} _{j}}$, la cui risultante è ${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$, il sistema sperimenterà un'accelerazione pari a ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$.

Il principio della minima curvatura di Hertz è un caso particolare del principio di Gauss e della formulazione di Jacobi del principio della minima azione. Esso prevede non esistano né forze esterne applicate né interazioni, le quali possono essere espresse attraverso l'energia potenziale, e che tutte le masse siano uguali. Senza perdita di generalità, le masse possono essere imposte unitarie. Con queste condizioni, la quantità minimizzata di Gauss è pari a:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

L'energia cinetica ${\displaystyle T}$ si conserva anche in questo caso:

${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

Nello spazio ${\displaystyle 3n}$-dimensionale ${\displaystyle ds^{2}}$ è definito come:

${\displaystyle ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

pertanto, la conservazione dell'energia può essere riscritta come:

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T}$

Dividendo ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ per ${\displaystyle 2T}$ si ottiene un'altra quantità minimizzabile:

${\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}}$

Poiché ${\displaystyle {\sqrt {K}}}$ è la curvatura locale della traiettoria nello spazio ${\displaystyle 3n}$-dimensionale, minimizzare ${\displaystyle K}$ equivale a trovare la traiettoria di minima curvatura, ovvero la geodetica, che rispetti i vincoli imposti.

L'equazione di Udwadia-Kalaba, sviluppata nel 1992 da Firdaus E. Udwadia e Robert E. Kalaba,^[1] è un metodo per ricavare le equazioni del moto,^[2] basato sul principio di minimo vincolo di Gauss. Essa è in grado di generalizzare le reazioni vincolari che non obbediscono al principio di d'Alembert.^[3][4][5]

Si prenda un sistema con ${\displaystyle m}$ gradi di libertà e ${\displaystyle l}$ gradi di vincolo, descritto da ${\displaystyle (q_{i})_{i=1,\dots ,m}}$ coordinate generalizzate, il cui spazio delle fasi è generato dalla coppia ${\displaystyle (q_{i},{\dot {q}}_{i})_{i=1,\dots ,m}}$. Note le condizioni iniziali ${\displaystyle (\mathbf {q} (0),{\dot {\mathbf {q} }}(0))}$, si ha che l'equazione di Udwadia-Kalaba è:

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t){\ddot {\mathbf {q} }}(t)=\mathbf {Q} (\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t)+\mathbf {Q} _{c}(\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t)}$

dove ${\displaystyle \mathbf {M} }$ è la matrice della massa, ovvero una matrice ${\displaystyle n\times n}$ simmetrica e semidefinita positiva, mentre ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ è la somma di tutte le forze generalizzate agenti sul sistema e ${\displaystyle \mathbf {Q} _{c}}$ la somma di tutte le relative reazioni vincolari.

Se la matrice ${\displaystyle \mathbf {M} }$ è definita positiva, è possibile invertirla per ricavare direttamente le accelerazioni generalizzate, inoltre si ha che:^[1][6]

${\displaystyle \mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\left(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} \right)+\mathbf {K} }$

dove ${\displaystyle \mathbf {A} }$ è la matrice ${\displaystyle m\times l}$ e ${\displaystyle \mathbf {b} }$ l'm-vettore, tali che l'equazione di Udwadia-Kalaba possa essere riscritta come ${\displaystyle \mathbf {A} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {b} }$, mentre la notazione ${\displaystyle +}$ indica la pseudoinversa di Moore-Penrose. Il termine ${\displaystyle \mathbf {K} }$ tiene conto della presenza di vincoli non ideali, pertanto, detta ${\displaystyle \mathbf {I} }$ la matrice identità, esso è pari a:

${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {M} ^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right]\mathbf {M} ^{-1/2}\mathbf {C} }$

dove ${\displaystyle \mathbf {C} ({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)}$ è il vettore che, generalizzando il principio di d'Alembert, tiene conto della non-idealità dei vincoli. Infatti si ha che:

${\displaystyle \delta W_{c}=\mathbf {C} \cdot \delta \mathbf {r} }$

Se ${\displaystyle \mathbf {M} }$ è semidefinita positiva, potrebbe risultare singolare.^[7][8] Inoltre, le accelerazioni generalizzate potrebbero non essere uniche a meno che non abbia rango completo, ovvero pari a ${\displaystyle n}$, la matrice ${\displaystyle (l+m)\times m}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}={\begin{bmatrix}\mathbf {M} \\\mathbf {A} \end{bmatrix}}}$

Ma poiché le accelerazioni osservate nei sistemi meccanici in natura sono sempre uniche, la condizione sul rango risulta necessaria e sufficiente per ottenere univocamente le accelerazioni generalizzate del sistema vincolato in ogni istante di tempo. Pertanto, quando ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}}$ ha rango completo, le equazioni di movimento del sistema vincolato sono determinate in modo univoco, creando un sistema ausiliario non vincolato, attraverso la matrice ${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }=\mathbf {M} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} }$ e il vettore ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {b} }=\mathbf {Q} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {b} }$, tali che^[8]

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {Q} _{c^{\prime }}}$

dove

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {Q} _{c^{\prime }}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\right)^{+}\left(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }\right)+\mathbf {K} _{\mathbf {A} }\\&\mathbf {K} _{\mathbf {A} }=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\right]\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}\mathbf {C} \end{aligned}}}$

• C. F. Gauss, Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik, in Crelle's Journal, vol. 1829, n. 4, 1829, pp. 232–235, DOI:10.1515/crll.1829.4.232.
• C. F. Gauss, Werke, vol. 5, p. 23.
• H. Hertz, Principles of Mechanics, collana Miscellaneous Papers, III, Macmillan, 1896.
• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover, 1952, p. 106.

• Equazioni del moto di Appell

• Una moderna trattazione e una dimostrazione del principio di minimo vincolo
• Principio di minimo vincolo di Gauss
• Principio di minima curvatura di Hertz