Tetraedro di Reuleaux
Il tetraedro di Reuleaux è il solido risultante dall'intersezione di quattro sfere di raggio s centrate ai vertici di un tetraedro regolare con spigoli di lunghezza s. La superficie di ognuna delle sfere passa dai centri delle altre sfere, che formano quindi i vertici di una faccia del tetraedro di Reuleaux. Il tetraedro di Reuleaux ha dunque la stessa struttura facciale di un tetraedro regolare ma con facce curve: quattro vertici e quattro facce curve, collegate da sei spigoli arcuati.
Il nome di tale solido deriva per analogia da quello del triangolo di Reuleaux, una curva ad ampiezza costante bidimensionale. Tuttavia, contrariamente a quanto accade per il triangolo di Reuleaux, il tetraedro di Reuleaux non è una superficie ad ampiezza costante. Entrambe le figure prendono il nome da Franz Reuleaux, un ingegnere tedesco del XIX secolo considerato il padre della cinematica.
Volume e superficie
[modifica | modifica wikitesto]Il volume di un tetraedro di Reuleaux è[1]
La superficie è
![{\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2,975s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501ae1c7655ac164afe6bce737e73f66ef148bc5)
Corpi di Meissner
[modifica | modifica wikitesto]In un articolo del 1912, Ernst Meissner e Friedrich Schilling[2] hanno dimostrato come modificare il tetraedro di Reuleaux in modo da ottenere una superficie ad ampiezza costante, sostituendo tre dei suoi spigoli arcuati con superfici arcuate formate come superfici di rotazione di un arco circolare. A seconda di quali tre spigoli si sostituiscono, tre che condividono un vertice o tre che formano una faccia triangolare, si ottengono due solidi non congruenti chiamati "corpi di Meissner" o "tetraedri di Meissner".[3]
Nel 1934, Bonnesen e Fenchel[4] pubblicarono una congettura, tutt'oggi da dimostrare, secondo cui tra tutti i solidi convessi di larghezza costante, quelli che minimizzano il volume sono i corpi di Meissner.[5][6] In relazione a questo problema, Campi, Colesanti e Gronchi[7] hanno dimostrato che la superficie di rotazione con volume minimo e ampiezza costante è la superficie data dalla rotazione del triangolo di Reuleaux attorno a uno dei suoi assi di simmetria.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ (EN) Eric W. Weisstein, Tetraedro di Reuleaux, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 22 novembre 2021.
- ^ (DE) Ernst Meissner e Friedrich Schilling, Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite, in Z. Math. Phys., vol. 60, 1912, pp. 92-94.
- ^ Christof Weber, What does this solid have to do with a ball? (PDF), SwissEduc, 2009. URL consultato il 22 novembre 2021.
- ^ (DE) Tommy Bonnesen e Werner Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Springer-Verlag, 1934, pp. 127-139.
- ^ A. Alvino et al., Metodi di simmetrizzazione e applicazioni (PDF), Università degli Studi di Napoli Federico II, 19 maggio 2015. URL consultato il 22 novembre 2021.
- ^ Bernd Kawohl e Christof Weber, Meissner's Mysterious Bodies (PDF), in Mathematical Intelligencer, vol. 33, n. 3, 2011, pp. 94-101, DOI:10.1007/s00283-011-9239-y. URL consultato il 22 novembre 2021.
- ^ Stefano Campi, Andrea Colesanti e Paolo Gronchi, Minimum problems for volumes of convex bodies, Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker, 1996, pp. 43-55, DOI:10.1201/9780203744369-7. URL consultato il 22 novembre 2021.
Altri progetti
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Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Tetraedro di Reuleaux, su MathWorld, Wolfram Research.
