Matrice nilpotente

In algebra lineare una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ si dice nilpotente se esiste un intero non negativo ${\displaystyle n}$ tale che

${\displaystyle A^{n}=0.}$

Il più piccolo ${\displaystyle n}$ per cui questo è vero è detto ordine (o indice) di nilpotenza di ${\displaystyle A.}$

Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli, infatti, sia ${\displaystyle \lambda }$ un autovalore di ${\displaystyle A}$, allora esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ (un autovettore di ${\displaystyle A}$) tale che ${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$, da cui:

${\displaystyle A^{n}\mathbf {v} =\lambda ^{n}\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$

siccome ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$, questo accade quando:

${\displaystyle \lambda ^{n}=0,}$

da cui segue ${\displaystyle \lambda =0.}$ Di conseguenza una matrice nilpotente ha traccia e determinante nulli.

La matrice

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}}$

è nilpotente, infatti:

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}=0.}$

Anche la matrice seguente è nilpotente:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\2&2&0&0\\4&3&1&0\\\end{bmatrix}},}$

infatti:

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&0&0&0\\5&2&0&0\\\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle M^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&0&0&0\\\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle M^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}.}$

Il blocco di Jordan di ordine ${\displaystyle q}$ associato all'autovalore ${\displaystyle 0}$ è una matrice nilpotente con ordine di nilpotenza ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

In generale, tutte le matrici triangolari ${\displaystyle n\times n}$ con ogni elemento sulla diagonale principale uguale a ${\displaystyle 0,}$ sono nilpotenti di ordine ${\displaystyle n}$.

Non è vero però che le matrici nilpotenti siano necessariamente triangolari. Ad esempio, la seguente matrice ${\displaystyle 3\times 3}$ non è triangolare ma è nilpotente di ordine ${\displaystyle 2}$:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&3&0\\0&0&0\\0&9&0\\\end{bmatrix}},}$

infatti:

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}.}$

Se ${\displaystyle A}$ è una matrice di ordine ${\displaystyle n}$ nilpotente di ordine ${\displaystyle k}$, allora ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$.

Siccome ${\displaystyle A}$ è nilpotente di ordine ${\displaystyle k}$ si ha ${\displaystyle A^{k}=0}$, per il teorema di Hamilton-Cayley si ha che ${\displaystyle A}$ soddisfa il suo polinomio caratteristico ${\displaystyle \chi _{A}(t)}$. Siccome ${\displaystyle \deg(\chi _{A}(t))=n}$ e ${\displaystyle A^{k}=0}$ si ha ${\displaystyle \chi _{A}(t)=t^{n}}$ e ${\displaystyle A^{n}=0}$ (per Hamilton-Cayley), e quindi ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$.

Tutte le matrici simili a una matrice nilpotente sono a loro volta nilpotenti.

Si considerino due matrici simili ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ con ${\displaystyle A}$ nilpotente di ordine ${\displaystyle n.}$ In quanto simili, esiste una matrice invertibile ${\displaystyle P}$ tale che ${\displaystyle B=P^{-1}AP}$. Allora

${\displaystyle B^{n}=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots (P^{-1}AP)}$

${\displaystyle =P^{-1}A(PP^{-1})A(PP^{-1})\cdots (PP^{-1})AP}$

${\displaystyle =P^{-1}A^{n}P=P^{-1}0P=0.}$

Quindi anche ${\displaystyle B}$ è nilpotente.

Consideriamo uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$, definito su un campo e di dimensione ${\displaystyle n}$, e sia ${\displaystyle f\colon V\to V}$ un endomorfismo, allora possiamo rappresentare ${\displaystyle f}$ tramite una matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n}$, sia essa ${\displaystyle A}$. Diciamo che ${\displaystyle f}$ è un endomorfismo nilpotente di ordine ${\displaystyle k}$ se e solo se lo è la matrice rappresentativa ${\displaystyle A}$.

• Paolo Dulio, Walter Pacco, Algebra lineare e geometria analitica, Società Editrice Esculapio, ISBN 978-88-7488-838-2.