Gruppo di Mathieu

In matematica, i gruppi di Mathieu sono 5 gruppi finiti semplici scoperti nel 1860 e nel 1873 dal matematico francese Émile Mathieu. Questi gruppi vengono denotati con M_n, dove n può assumere i valori 11, 12, 22, 23 e 24. In genere essi vengono considerati come gruppi di permutazioni di n punti. Essi sono stati i primi gruppi sporadici ad essere individuati.

I gruppi di Mathieu costituiscono esempi di gruppi molteplicemente transitivi. Per un numero intero positivo k, un gruppo di permutazioni G agente su n punti si dice k-transitivo se per ogni coppia di insiemi di k punti {a₁, ... a_k} e {b₁, ... b_k} (con tutti gli a_i mutuamente distinti e tutti i b_i mutuamente distinti), nel gruppo G si trova un elemento g che per ogni i = 1 , ..., k porta a_i in b_i.

I gruppi M₂₄ ed M₁₂ sono 5-transitivi, i gruppi M₂₃ e M₁₁ sono 4-transitivi ed M₂₂ è 3-transitivo.

Dalla classificazione dei gruppi finiti semplici segue che gli unici gruppi k-transitivi per k maggiore o uguale a 4 sono i gruppi simmetrici e i gruppi alternanti (aventi gradi k e k-2 rispettivamente) e i gruppi di Mathieu M₂₄, M₂₃, M₁₂ ed M₁₁.

A meno di una relazione di equivalenza, esiste un unico sistema di Steiner S(5,8,24). Il gruppo M₂₄ è il gruppo degli automorfismi di tale sistema; in altre parole esso è l'insieme delle permutazioni che portano ogni blocco in qualche altro blocco. M₂₃ ed M₂₂ sono definiti come i sottogruppi di M₂₄ che sono rispettivamente stabilizzatore di un singolo punto e stabilizzatore di due punti.

Similmente esiste, a meno di un'equivalenza, un solo sistema di Steiner S(5,6,12) e il gruppo M₁₂ è il suo gruppo degli automorfismi; M₁₁ è il suo sottogruppo stabilizzatore di un punto.

Il gruppo M₂₄ si può anche realizzare come gruppo degli automorfismi del codice binario di Golay W. Ricordiamo che questo codice è un insieme di 1024 sequenze binarie (parole-codice) collocate nello spazio V=F₂²⁴ delle sequenze di 24 bits. M₂₄ può vedersi come il gruppo delle permutazioni delle coordinate di V che trasforma W in sé stesso. Possiamo anche riguardare M₂₄ come l'intersezione di S₂₄ con lo stabilizzatore Stab(W) nel gruppo degli automorfismi Aut(V).

I sottogruppi semplici M₂₃, M₂₂, M₁₂ ed M₁₁ si possono definire rispettivamente come gli stabilizzatori in S₂₄ rispettivamente di una singola coordinata, di una coppia ordinata di coordinate, di un sottoinsieme di 12 elementi dell'insieme delle coordinate corrispondente ad una parola-codice, di una parola codice di 12 elementi insieme ad una singola coordinata.

• John H. Conway, R. T Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson (1985): Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su gruppo di Mathieu

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