Epigrafico (matematica)

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$

definita su un insieme ${\displaystyle A}$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in A,\,\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq \ f(x)\}\subseteq A\times \mathbb {R} }$

Se ${\displaystyle A}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'epigrafico è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Nell'ipotesi:

${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{n}}$

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso. Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi

L'epigrafico di una funzione affine reale

${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

è un semispazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.