Bickett fu scelto come quinto assoluto nel Draft 1985 dagli Indianapolis Colts[1]. Nella sua prima stagione fece registrare 6 sack e un intercetto, venendo premiato come rookie difensivo dell'anno. Nel 1987 mise a segno un massimo in carriera di 8 sack, venendo convocato per il Pro Bowl. Rimase ai Colts fino al 1993, dopo di che passò due stagioni coi Seattle Seahawks e l'ultima della carriera nel 1996 con i Carolina Panthers.
^(EN) 1985 National Football League Draft, Pro Football Hall of Fame. URL consultato il 19 ottobre 2012 (archiviato dall'url originale il 9 novembre 2013).