Algoritmo di Gauss-Legendre
L'algoritmo di Gauss–Legendre è un algoritmo per il calcolo di π. È noto per essere rapidamente convergente, 25 iterazioni producono ben 45 milioni di cifre decimali corrette di π. L'inconveniente è un intensivo uso di memoria.
Il metodo è basato sui lavori di Gauss e Legendre unitamente ai moderni algoritmi per la moltiplicazione e l'estrazione di radice quadrata. Si basa sulla continua sostituzione di due numeri con la loro media aritmetica e geometrica per approssimare la loro media aritmetica-geometrica.
Esempio di algoritmo
[modifica | modifica wikitesto]La versione presentata qui sotto è anche conosciuta come algoritmo di Brent-Salamin (o Salamin-Brent); è stata scoperta indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin[1]. È stata usata per calcolare le prime 206 158 430 000 cifre decimali di π tra il 18 e il 20 settembre 1999 e il risultato è stato controllato con l'algoritmo di Borwein.
- Valori iniziali:
- Ripetere le seguenti istruzioni finché la differenza fra e è della precisione voluta:
- ,
- Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle p_{n+1} = 2p_n.}
- π è approssimato con , e come:
Le prime tre iterazioni danno:
L'algoritmo ha convergenza del secondo ordine, cioè il numero di cifre corrette raddoppia a ogni passo dell'algoritmo.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Richard P. Brent, Old and new algorithms for pi, in Notices of the AMS, vol. 60, n. 1, American Mathematical Society, gennaio 2013, p. 7, arΧiv:1303.2762.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Algoritmo di Gauss-Legendre, su MathWorld, Wolfram Research.