Teorema di limitatezza

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

Il teorema di limitatezza è un teorema di analisi matematica che assume forme diverse a seconda del contesto, e afferma che un oggetto che ha un limite è necessariamente limitato. Si applica generalmente a successioni e funzioni.

Il teorema di limitatezza per successioni di numeri reali afferma che

Dalla definizione di limite, prendendo ${\displaystyle \epsilon =1}$, si deduce che esiste un ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle a_{n}}$ è nell'intervallo limitato ${\displaystyle [l-1,l+1]}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$: quindi la sottosuccessione formata da tutti i termini ${\displaystyle a_{n}}$ con ${\displaystyle n>N}$ è limitata.

La successione completa ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ è ottenuta da questa aggiungendo un numero finito di termini ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N}}$, e quindi è anch'essa limitata. Concretamente, ${\displaystyle K}$ si ottiene come

${\displaystyle K=\max\{|a_{1}|,\ldots ,|a_{N}|,|l-1|,|l+1|\}.}$

Il teorema di limitatezza per funzioni, solitamente chiamato teorema di limitatezza locale, afferma che

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica