Soluzione on shell e off shell

In fisica, in particolare nella teoria quantistica dei campi, si parla di soluzione on shell e off shell per indicare le configurazioni di un sistema fisico. Quando una configurazione è soluzione delle classiche equazioni del moto viene chiamata soluzione on shell, mentre se non le soddisfa è detta soluzione off shell.

Il termine "'soluzione on shell e off shell"' deriva da "shell di massa", sinonimo di iperboloide di massa, cioè è l'iperboloide nello spazio dell'energia-impulso che descrivono le soluzioni dell'equazione:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}}$

La quale descrive le combinazioni dell'energia E e della quantità di moto ${\displaystyle {\vec {p}}}$ consentite dalla relatività speciale per una particella di massa m, dove c è la velocità della luce. L'equazione per lo shell di massa è spesso scritta in termini di quadrimpulso in notazione di Einstein e nelle unità naturali in cui ${\displaystyle c=1}$, come:

${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$

o più semplicemente:

${\displaystyle p^{2}=m^{2}}$

La teoria quantistica dei campi è la versione relativistica della meccanica quantistica, dove gli oggetti fondamentali sono i campi. Essa fornisce la struttura teorica su cui si basano per esempio la fisica delle particelle e la fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, è una delle teorie di maggior successo della fisica.

La teoria quantistica dei campi fornisce alcune correzioni alla meccanica quantistica ordinaria, in cui l'evoluzione di un sistema è descritta dall'equazione di Schrödinger che nella sua forma più comune è:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

dove ${\displaystyle \hbar }$ è la costante di Planck ridotta, ${\displaystyle \Psi }$ è la funzione d'onda di una particella, ${\displaystyle m}$ la sua massa, e ${\displaystyle V}$ un'energia potenziale applicata.

Ci sono due problemi associati a questa equazione:

• In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se si nota che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica ${\displaystyle p^{2}/2m}$, mentre l'energia a riposo ${\displaystyle mc^{2}}$ viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo, ad esempio, l'equazione di Klein-Gordon per particelle scalari (spin nullo) o l'equazione di Dirac per particelle di spin un mezzo;
• Il secondo problema si ha quando si cerca di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di ${\displaystyle N}$ bosoni si scrive come:

${\displaystyle \Phi (r_{1},\dots ,r_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\phi _{p(1)}(r_{1})\cdots \phi _{p(N)}(r_{N})}$

dove ${\displaystyle r_{i}}$ sono le coordinate della i-esima particella, ${\displaystyle \phi _{i}}$ sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la somma è presa su tutte le possibili permutazioni di ${\displaystyle p}$ elementi. In generale, questa è una somma di ${\displaystyle N!}$ (${\displaystyle N}$ fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di ${\displaystyle N}$.

Prendendo per esempio un campo scalare in uno spazio di Minkowski D-dimensionale, si consideri una densità di Lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$. L'azione è data da:

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

L'equazione di Eulero-Lagrange si ottiene considerando la variazione del campo e delle sue derivate, e ponendola uguale a zero. Essa ha la forma:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Supponendo che il sistema compie uno spostamento infinitesimo ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$ nello spazio-tempo, la densità di Lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ (uno scalare) si trasforma come:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

Espandendo inoltre ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$ in serie di Taylor:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

dunque:

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

notando nel mentre che che ${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$ poiché le variazioni sono linearmente indipendenti. Dal momento che si tratta di campi scalari, essi si trasformano esattamente come ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$:

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

e dato che questo deve valere per traslazioni fra loro indipendenti:

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,\dots ,0),(0,\epsilon ,\dots ,0),\dots }$

si può "dividere" per ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ e scrivere:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Questo è un esempio di equazione che vale off shell, poiché è valida per ogni configurazione dei campi indipendentemente dal fatto che essa rispetti le equazioni del moto, che in tal caso sono le equazioni di Eulero-Lagrange.

Si può derivare comunque una soluzione on shell semplicemente rimpiazzando ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \phi }$ nella precedente relazione con l'equazione di Eulero-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Ciò si può scrivere come:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

e definendo la quantità tra parentesi come ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$, si ha:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

che è una formulazione del teorema di Noether. La quantità conservata è il tensore energia impulso, ed è conservata solo on shell, ovvero solo se vengono soddisfatte le equazioni del moto.

• (EN) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0-201-50397-2
• Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-08-17894-3
• (EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
• (EN) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
• (EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
• (EN) C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
• (EN) N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
• L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
• G, Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
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• (EN) F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
• (EN) F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.

• Funzione d'onda
• Operatore di evoluzione temporale
• Operatore hamiltoniano
• Operatore impulso
• Operatore posizione
• Teoria quantistica dei campi

• Appunti di Meccanica Quantistica Relativistica (Università di Roma 1, La Sapienza)
• Elettrodinamica Quantistica (Università di Roma 1, La Sapienza)
• Teorie di Gauge (Università di Roma 1, La Sapienza)
• G. Longhi Teoria Quantistica dei Campi con il formalismo di Wightman Archiviato il 17 aprile 2012 in Internet Archive. (Università di Firenze)
• (EN) F. J. Dyson 1951 Lectures on Advanced Quantum Mechanics Second Edition
• (EN) S. Coleman Corso di teoria dei campi, prima parte (Università Harvard)
• (EN) S. Coleman Corso di teoria dei campi, seconda parte
• (EN) W. Siegel Fields Archiviato il 7 gennaio 2010 in Internet Archive.

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