Serie di Neumann

In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n}}$

dove ${\displaystyle T}$ è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.

La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.

Sia ${\displaystyle T}$ un operatore limitato su uno spazio normato ${\displaystyle X}$. Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora ${\displaystyle Id-T}$ è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:

${\displaystyle (\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}}$

Un caso in cui la convergenza è garantita è quando ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Banach e ${\displaystyle ||T||<1}$ nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.

Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle B'}$ è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia ${\displaystyle S:B\to B'}$ un operatore invertibile e sia ${\displaystyle T:B\to B'}$ un altro operatore. Se ${\displaystyle |S-T|<|S^{-1}|^{-1}}$, allora anche ${\displaystyle T}$ è invertibile. Questo segue da scrivere ${\displaystyle T}$ come:

${\displaystyle T=S(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))}$

e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di ${\displaystyle T^{-1}}$ può essere limitata da:

${\displaystyle |T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{dove}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|}$

• (EN) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer Verlag, 2005, ISBN 3-540-43586-7.
• (EN) Smithies, Integral equations , Cambridge University Press (1970) pp. Chapt. II
• (EN) N. Suzuki, On the convergence of Neumann series in Banach space Math. Ann. , 220 (1976) pp. 143–146
• (EN) H.W. Engl, A successive-approximation method for solving equations of the second kind with arbitrary spectral radius J. Integral Eq. , 8 (1985) pp. 239–247
• (EN) I.C. Gohberg, S. Goldberg, Basic operator theory , Birkhäuser (1981)
• (EN) A.E. Taylor, D.C. Lay, Introduction to functional analysis , Wiley (1980) pp. Chapt. 5

• Norma operatoriale
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Serie geometrica

• (EN) B.V. Khvedelidze, Neumann series, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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