Gruppo triangolare

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In algebra un gruppo triangolare è un gruppo generato dalle riflessioni lungo i lati di un triangolo con angoli

${\displaystyle {\frac {\pi }{l}},{\frac {\pi }{m}},{\frac {\pi }{n}}.}$

Il triangolo è contenuto nel piano euclideo, nel piano iperbolico o nella sfera a seconda che la somma degli angoli interni sia uguale, minore o maggiore di ${\displaystyle \pi }$. Il gruppo triangolare è anche il gruppo di simmetrie della tassellazione del piano corrispondente.

Un gruppo triangolare è un particolare gruppo di Coxeter.

Siano ${\displaystyle l,m,n}$ tre numeri interi maggiori o uguali a 2. Sia ${\displaystyle T}$ un triangolo avente angoli interni

${\displaystyle {\frac {\pi }{l}},{\frac {\pi }{m}},{\frac {\pi }{n}}.}$

La somma degli angoli interni è

${\displaystyle \pi \cdot \left({\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}\right).}$

In geometria euclidea un tale triangolo esiste soltanto se la somma degli angoli interni è ${\displaystyle \pi }$, e cioè se

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.}$

Se la somma degli angoli interni è maggiore o minore di ${\displaystyle \pi }$, un tale triangolo esiste nelle altre due geometrie non euclidee più importanti, e cioè la geometria sferica e la geometria iperbolica. Le figure seguenti mostrano un triangolo sferico (in cui la somma degli angoli interni ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma }$ è maggiore di ${\displaystyle \pi }$) e un triangolo iperbolico (in cui è minore di ${\displaystyle \pi }$):

Triangolo sferico

Triangolo iperbolico

Il gruppo triangolare

${\displaystyle \Delta (l,m,n)}$

è il gruppo di simmetrie del piano (euclideo, sferico o iperbolico) generato dalle tre riflessioni lungo i tre lati del triangolo. Indicando con ${\displaystyle a,b,c}$ queste riflessioni, il gruppo triangolare ha la seguente presentazione:

${\displaystyle \langle a,b,c\ |\ a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1\rangle .}$

Le relazioni ${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$ sono dovute al fatto che una riflessione ha ordine 2, mentre le relazioni ${\displaystyle (ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1}$ sono conseguenza del fatto che la composizione ${\displaystyle ab}$ è una rotazione di angolo ${\displaystyle 2\pi /n}$ attorno al vertice avente angolo ${\displaystyle \pi /n}$ ed ha quindi ordine ${\displaystyle n}$.

• Gruppo di Coxeter

• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo triangolare, su MathWorld, Wolfram Research.

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