Distribuzione di Skellam

Distribuzione di Skellam
Funzione di distribuzione discreta Nell'immagine i parametri sono stati indicati con la lettera ${\displaystyle \mu }$ anziché con la lettera ${\displaystyle \lambda }$
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}>0\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
Funzione di densità	${\displaystyle e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{|n|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})}$
Valore atteso	${\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}}$
Varianza	${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\ }$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione di Skellam è una distribuzione di probabilità che governa la differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe una distribuzione di Poisson. Prende il nome da John Gordon Skellam.^[1]

La distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2})}$ è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria

${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$

definita da due variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{2}}$ che seguono rispettivamente le distribuzioni di Poisson di parametri ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

La distribuzione di probabilità di ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ è

${\displaystyle P(n)=e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}I_{|n|}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})}$,

dove ${\displaystyle I_{\alpha }}$ è la funzione di Bessel di primo tipo modificata

Questa distribuzione si ricava dalle distribuzioni ${\displaystyle P(X_{i}=n_{i})=e^{-\lambda _{i}}\lambda _{i}^{n}/n!}$, esprimendo

${\displaystyle P(Y=n)=\sum _{n_{1}-n_{2}=n}P(X_{1}=n_{1})P(X_{2}=n_{2})={\frac {1}{e^{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum {\frac {\lambda _{1}^{n_{1}-{\frac {n}{2}}}\lambda _{2}^{n_{2}+{\frac {n}{2}}}}{n_{1}!n_{2}!}}}$;

mostrando che ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(Y=n)}{P(Y=-n)}}=\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{n}}$ si ottiene la formula per la distribuzione di ${\displaystyle Y}$.

Nel caso particolare in cui entrambe le variabili ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{2}}$ seguano la stessa distribuzione di probabilità ${\displaystyle \mathbb {P} (\lambda )}$, la distribuzione diventa simmetrica e la distribuzione è^[2]

${\displaystyle P(n)=e^{-2\lambda }I_{|n|}(2\lambda )}$.

La variabile aleatoria ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ con distribuzionedi Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2})}$ ha

• speranza matematica

${\displaystyle E[Y]=E[X_{1}]-E[X_{2}]=\lambda _{1}-\lambda _{2}\ }$

• funzione caratteristica

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}}(t)\phi _{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{it}+\lambda _{2}e^{-it}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$

• funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle g_{Y}(t)=g_{X_{1}}(t)g_{X_{2}}(-t)=e^{\lambda _{1}e^{t}+\lambda _{2}e^{-t}-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}$

Prendendo

${\displaystyle s=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$ e ${\displaystyle d=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$,

dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano i primi momenti semplici

${\displaystyle \mu _{1}(Y)=d}$, ${\displaystyle \mu _{2}(Y)=d^{2}+s}$, ${\displaystyle \mu _{3}(Y)=d^{3}+3ds+d}$, ${\displaystyle \mu _{4}(Y)=d^{4}+6d^{2}s+4d^{2}+3s^{2}+s}$

e i primi momenti centrali

${\displaystyle m_{2}(Y)=s}$, ${\displaystyle m_{3}(Y)=d}$, ${\displaystyle m_{4}(Y)=3s^{2}+s}$;

in particolare si trovano la varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(Y)=m_{2}(Y)=s=\lambda _{1}+\lambda _{2}\ }$

e gli indici di asimmetria e curtosi

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {d}{s^{3/2}}}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{\frac {3}{2}}}}}$,

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {3s^{2}+s}{s^{2}}}-3={\frac {1}{s}}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{-1}}$.

La distribuzione di Poisson può essere considerata un caso particolare della distribuzione di Skellam, con parametri ${\displaystyle (\lambda ,0)}$; in altri termini, considerando la distribuzione degenere (${\displaystyle {P(X_{2}=0)=1}}$) un caso particolare di distribuzione di Poisson con parametro 0, la variabile aleatoria ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}=X_{1}}$ è differenza di due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni di Poisson.

La somma e la differenza di due o più variabili aleatorie indipendenti che seguono distribuzioni di Skellam (o di Poisson) seguono entrambe una distribuzione di Skellam. Questa proprietà segue dalla definizione di distribuzione di Skellam e dall'analoga proprietà per la somma di due o più variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di Poisson. Più precisamente, se ${\displaystyle X=X_{1}-X_{2}}$ e ${\displaystyle Y=Y_{1}-Y_{2}}$ seguono rispettivamante le distribuzioni di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2})}$ e ${\displaystyle (\mu _{1},\mu _{2})}$, allora

${\displaystyle -X=X_{2}-X_{1}}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{2},\lambda _{1})}$,

${\displaystyle X+Y=(X_{1}+Y_{1})-(X_{2}+Y_{2})}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1}+\mu _{1},\lambda _{2}+\mu _{2})}$,

${\displaystyle X-Y=(X_{1}+Y_{2})-(X_{2}+Y_{1})}$ segue la distribuzione di Skellam di parametri ${\displaystyle (\lambda _{1}+\mu _{2},\lambda _{2}+\mu _{1})}$,

• Distribuzione di Poisson
• Funzione di Bessel

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