Coefficiente multinomiale

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Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo ${\displaystyle n,}$ e un vettore intero non negativo ${\displaystyle \mathbf {k} }$ di norma uno (${\displaystyle \|\mathbf {k} \|_{1}}$) uguale a ${\displaystyle n}$, il coefficiente multinomiale è definito come

${\displaystyle {n \choose \mathbf {k} }:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},}$

ed è sempre un numero naturale.

( ${\displaystyle {\prod _{i=1}^{r}}}$ è il simbolo della produttoria).

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},}$

ovvero

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},}$

dove ${\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}}$ indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ${\displaystyle n}$.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},}$

con le norme unitarie:

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},}$

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},}$

e:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.}$

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi ${\displaystyle n}$ oggetti in ${\displaystyle r}$ scatole, tali che ${\displaystyle k_{1}}$ oggetti stiano nella prima scatola, ${\displaystyle k_{2}}$ nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di ${\displaystyle n}$ oggetti, di cui ${\displaystyle k_{1}}$ uguali tra loro, ${\displaystyle k_{2}}$ uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi ${\displaystyle k_{i}}$ essere uguale a ${\displaystyle 1}$, e avendosi così ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n}$.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

${\displaystyle P(\mathbf {x} =\mathbf {k} )={n \choose \mathbf {k} }\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}},}$

una variabile casuale discreta.

Per ${\displaystyle x_{i}}$ = 1 si ha:

${\displaystyle r^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{k_{i}!}}}}$.

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

${\displaystyle {32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}$

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

• (EN) multinomial coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Coefficiente multinomiale, su MathWorld, Wolfram Research.

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