Wronskiano

In matematica, il wronskiano è un determinante introdotto dal matematico polacco Josef Hoene-Wronski diffusamente utilizzato nello studio di equazioni differenziali. Consente frequentemente di mostrare l'indipendenza lineare di un insieme di soluzioni.

Il wronskiano di due funzioni differenziabili ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ è ${\displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}$. In generale, dato un insieme di n funzioni ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$, il wronskiano ${\displaystyle W(f_{1},\dots ,f_{n})}$ è definito come:

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}\qquad x\in I}$

ovvero come il determinante della matrice quadrata costruita mettendo le funzioni nella prima riga, la derivata prima di ogni funzione nella seconda riga, e così fino alla derivata ${\displaystyle n-1}$. In una equazione differenziale lineare del secondo ordine, il wronskiano può essere calcolato facilmente con l'identità di Abel.

Il wronskiano può essere usato per determinare se un insieme di funzioni derivabili è linearmente indipendente su un dato intervallo, in quanto se le funzioni ${\displaystyle f_{i}}$ sono linearmente dipendenti allora lo sono anche le loro derivate (essendo la derivata una trasformazione lineare), e dunque le colonne del wronskiano sono linearmente dipendenti.

Se il wronskiano è diverso da zero in almeno un punto dell'intervallo allora le funzioni associate sono linearmente indipendenti nell'intervallo; se sono invece linearmente dipendenti è uguale a zero, tuttavia non è vero il viceversa: se il wronskiano è uniformemente zero nell'intervallo le funzioni possono anche non essere linearmente dipendenti, cioè il fatto che ${\displaystyle W=0}$ ovunque non implica la dipendenza lineare.

Questo utilizzo del wronskiano è presente in molte situazioni, ad esempio per verificare l'indipendenza lineare di due soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine.

• Si considerino le funzioni ${\displaystyle f_{1}(x)=x^{2}}$, ${\displaystyle f_{2}(x)=x}$ e ${\displaystyle f_{3}(x)=1}$ definite per ${\displaystyle x}$ numero reale. Calcolando il wronskiano:

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2}$

si vede che ${\displaystyle W}$ non è uniformemente nullo, quindi queste funzioni devono essere linearmente indipendenti.

• Si considerino le funzioni ${\displaystyle f_{1}(x)=2x^{2}+3}$, ${\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}}$, e ${\displaystyle f_{3}(x)=1}$. Queste funzioni sono linearmente dipendenti, infatti ${\displaystyle 2x^{2}+3=2(x^{2})+3(1)}$. Così il wronskiano deve essere zero; come si può verificare nel seguente modo:

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0}$

• Come detto precedentemente, il fatto che il wronskiano sia nullo non implica in generale che le funzioni considerate siano linearmente dipendenti. Si considerino le funzioni ${\displaystyle f_{1}(x)=x^{3}}$ e ${\displaystyle f_{2}(x)=|x^{3}|}$, con ${\displaystyle |\cdot |}$ il valore assoluto. La seconda funzione può essere scritta come:

${\displaystyle |x^{3}|=\left\{{\begin{matrix}-x^{3}\qquad x<0\\x^{3}\qquad x\geq 0\end{matrix}}\right.}$

È possibile verificare che queste due funzioni sono linearmente indipendenti nell'insieme dei numeri reali; tuttavia il loro wronskiano è zero:

${\displaystyle W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0\qquad x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0\qquad x\geq 0\end{matrix}}\right.}$

• (EN) T.M. Apostol, Mathematical analysis , Addison-Wesley (1974)
• (EN) P. Hartman, Ordinary differential equations , Birkhäuser (1982)
• (FR) G. Peano, "Sur le déterminant Wronskian" Mathesis , 9 (1989) pp. 75–76

• Determinante
• Indipendenza lineare

• (EN) Eric W. Weisstein, Wronskiano, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Wronskiano, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Wronskian determinant, articolo su PlanetMath, con licenza GFDL
• More on the Wronskian, Paul's Online Math Notes, su tutorial.math.lamar.edu.

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