Matrice trasposta coniugata

Disambiguazione – Se stai cercando la trasposta della matrice dei cofattori, vedi matrice dei cofattori.

In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.

Data una matrice ${\displaystyle A}$, indicando con ${\displaystyle A^{T}}$ la sua trasposta e con l'asterisco ${\displaystyle *}$ l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata ${\displaystyle A^{\dagger }}$ è data da:

${\displaystyle A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}}$

In termini degli elementi vale la relazione:

${\displaystyle (A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}}$

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

${\displaystyle A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }}$

Ad esempio:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}}$

Valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}$

e in generale:

${\displaystyle \left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}$

Dalle precedenti proprietà si può ricavare

${\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }}$;

infatti

${\displaystyle A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.}$

L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.

Denotando con ${\displaystyle \langle \cdot \,,\cdot \rangle }$ il prodotto hermitiano standard fra vettori di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle }$

Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice hermitiana.

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

${\displaystyle \phi (u,v)=(u,Av)}$

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

${\displaystyle (u,Au)=(u,Au)^{*}}$

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa ${\displaystyle A}$ può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)}$

• (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

• Matrice (matematica)
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Numero complesso
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Quoziente di Rayleigh
• Glossario sulle matrici

• (EN) Eric W. Weisstein, Conjugate Transpose, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) T.S. Pogolkina, Adjoint matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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