Approssimazione di Percus-Yevick

In meccanica statistica l'approssimazione di Percus-Yevick è un relazione di chiusura per risolvere l'equazione di Ornstein-Zernike; viene talvolta indicata come equazione di Percus-Yevick. Viene utilizzato comunemente in fluidodinamica per ottenere espressioni per la funzione di distribuzione radiale.

Derivazione

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La funzione di correlazione diretta rappresenta la correlazione fra due particelle in un sistema che ne contiene altre $N-2$ . Può essere scritta come

$c(r)=g_{\rm {total}}(r)-g_{\rm {indirect}}(r)\,$

dove $g_{\rm {total}}(r)$ è la funzione di distribuzione radiale, ovvero $g(r)=exp[-\beta w(r)]$ (con w(r) potenziale) e $g_{\rm {indiretta}}(r)$ è la funzione di distribuzione radiale senza l'interazione diretta fra le coppie $u(r)$ ; si scrive cioè $g_{\rm {indiretta}}(r)=exp^{-\beta [w(r)-u(r)]}$ . Quindi si approssima $c(r)$ con

$c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}\,$

Se si sostituisce la funzione $y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)$ nell'approssimazione per $c(r)$ si ottiene

$c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r)\,$

Questo è il punto chiave dell'approssimazione di Percus-Yevick: se si sostituisce il risultato nell'equazione di Ornstein-Zernike si ottiene l'equazione di Percus-Yevick:

$y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d\mathbf {r_{3}} \,$