Numero automorfo

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In matematica si dice numero automorfo o anche intero automorfo un intero positivo che nelle notazioni decimali ha il quadrato che presenta nella sua parte finale il numero stesso. Esempi: 5² = 25, 76² = 5776, 890625² = 793212890625.

A partire da un numero automorfo n di k cifre, si costruisce un numero automorfo di 2k cifre mediante la formula: ${\displaystyle n'\equiv 3\cdot n^{2}-2\cdot n^{3}{\pmod {10^{2k}}}}$ .

Vi sono due numeri automorfi di k cifre. Uno di essi gode delle proprietà ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {2^{k}}},n\equiv 1{\pmod {5^{k}}}}$; l'altro delle proprietà ${\displaystyle m\equiv 1{\pmod {2^{k}}},m\equiv 0{\pmod {5^{k}}}}$. La somma di questi due numeri è 10^k + 1.

La seguente sequenza di 1000 cifre consente di individuare un numero automorfo di k cifre per k ≤ 1000.

12781254001336900860348890843640238757659368219796\ 26181917833520492704199324875237825867148278905344\ 89744014261231703569954841949944461060814620725403\ 65599982715883560350493277955407419618492809520937\ 53026852390937562839148571612367351970609224242398\ 77700757495578727155976741345899753769551586271888\ 79415163075696688163521550488982717043785080284340\ 84412644126821848514157729916034497017892335796684\ 99144738956600193254582767800061832985442623282725\ 75561107331606970158649842222912554857298793371478\ 66323172405515756102352543994999345608083801190741\ 53006005605574481870969278509977591805007541642852\ 77081620113502468060581632761716767652609375280568\ 44214486193960499834472806721906670417240094234466\ 19781242669078753594461669850806463613716638404902\ 92193418819095816595244778618461409128782984384317\ 03248173428886572737663146519104988029447960814673\ 76050395719689371467180137561905546299681476426390\ 39530073191081698029385098900621665095808638110005\ 57423423230896109004106619977392256259918212890625

Qui il segno backslash (\) segnala che la scrittura decimale continua nella linea successiva. Basta prendere la sequenza delle ultime k cifre, e l'altro numero si ottiene sottraendo da 10^k + 1 il numero suddetto.

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero automorfo, su MathWorld, Wolfram Research.

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