Teorema di esistenza del limite di successioni monotone
Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Il teorema afferma che una successione monotona di numeri reali converge sempre ad un limite ; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.
Tale limite è finito se e solo se è limitata.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]La successione :
è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:
La successione :
è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Supponiamo la successione sia monotona crescente.
Se la successione è illimitata, allora per ogni esiste un tale che ; di conseguenza, per la monotonia, per ogni . Per definizione, allora, il limite di è infinito.
Se la successione è limitata, sia il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni esiste un tale che ; di conseguenza, per ogni . Per definizione di limite, è il limite di .
Nel caso in cui sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione e poi applicare le proprietà dei limiti.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza edizione, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.