Rilevamento di Kosmann

In geometria differenziale, il rilevamento di Kosmann^[1][2] (in inglese Kosmann lift) di un campo vettoriale ${\displaystyle X\,}$, definito su una varietà riemanniana ${\displaystyle (M,g)\,}$, è la proiezione canonica ${\displaystyle X_{K}\,}$ sul fibrato dei riferimenti ortonormali del suo rilevamento naturale (in inglese natural lift) ${\displaystyle {\hat {X}}\,}$ definito sul fibrato dei riferimenti lineari. Prende il nome della matematica francese Yvette Kosmann-Schwarzbach.

In generale, assegnato un sottofibrato ${\displaystyle Q\subset E\,}$ di un fibrato ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M\,}$ sopra ${\displaystyle M}$ e un campo vettoriale ${\displaystyle Z\,}$ su ${\displaystyle E}$, la sua restrizione ${\displaystyle Z\vert _{Q}\,}$ a ${\displaystyle Q}$ risulta essere un campo vettoriale "lungo" ${\displaystyle Q}$, non sopra (ovvero tangente a) ${\displaystyle Q}$. Se con ${\displaystyle i_{Q}\colon Q\hookrightarrow E}$ si denota l'immersione canonica, allora ${\displaystyle Z\vert _{Q}\,}$ risulta essere una sezione del fibrato (in inglese pullback bundle) ${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,}$, definito da:

${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)=\tau _{E}(v)\}\subset Q\times TE,\,}$

dove ${\displaystyle \tau _{E}\colon TE\to E\,}$ è il fibrato tangente al fibrato ${\displaystyle E}$. Ora, si supponga che sia stata assegnata una decomposizione di Kosmann del fibrato ${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,}$, tale che

${\displaystyle i_{Q}^{\ast }(TE)=TQ\oplus {\mathcal {M}}(Q),\,}$

i.e., in ogni punto ${\displaystyle q\in Q}$ vale ${\displaystyle T_{q}E=T_{q}Q\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,}$ dove ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle T_{q}E\,}$ e si assume per ipotesi che ${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)\to Q\,}$ costituisca un fibrato vettoriale su ${\displaystyle Q}$. Segue che la restrizione ${\displaystyle Z\vert _{Q}\,}$ a ${\displaystyle Q}$ si decompone in un campo vettoriale tangente ${\displaystyle Z_{K}\,}$ definito sopra ${\displaystyle Q}$ e in un campo vettoriale transverso ${\displaystyle Z_{G},\,}$ che risulta essere una sezione del fibrato ${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)\to Q.\,}$

Sia ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ il fibrato dei riferimenti ortonormali orientati di una varietà riemanniana orientata ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle n}$-dimensionale. Esso è un ${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$-sottofibrato principale del fibrato dei riferimenti lineari ${\displaystyle \mathrm {F} M\,}$ della varietà ${\displaystyle M}$. Il gruppo di struttura del fibrato principale ${\displaystyle \mathrm {F} M}$ è il gruppo lineare ${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$. Per definizione, si può dire che è data una ${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$-struttura riduttiva classica. Il gruppo speciale ortogonale ${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$ è un sottogruppo di Lie riduttivo di ${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$. Infatti, vale la seguente somma diretta ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)={\mathfrak {so}}(n)\oplus {\mathfrak {m}}\,}$, dove ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)\,}$ è l'algebra di Lie di ${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,}$, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)\,}$ è l'algebra di Lie di ${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,}$, e ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\,}$ è il sottospazio vettoriale ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathrm {S} \mathrm {O} }}$-invariante delle matrici simmetriche, i.e. ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{a}{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {m}}\,}$ per ogni ${\displaystyle a\in {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n).}$

Sia ${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}\colon \mathrm {F} _{SO}(M)\hookrightarrow \mathrm {F} M}$ l'immersione canonica.

Si dimostra che esiste una decomposizione di Kosmann canonica del fibrato ${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$ tale che

${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)=T\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\,,}$

i.e., in ogni ${\displaystyle u\in \mathrm {F} _{SO}(M)}$ si ha ${\displaystyle T_{u}\mathrm {F} M=T_{u}\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,}$ dove ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$ è la fibra sopra ${\displaystyle u}$ del sottofibrato ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$ di ${\displaystyle i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(V\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)}$. Con ${\displaystyle V\mathrm {F} M\,}$ si denota il sottofibrato verticale di ${\displaystyle T\mathrm {F} M\,}$; in ogni ${\displaystyle u\in \mathrm {F} _{SO}(M)}$ la fibra ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{u}}$ è isomorfa allo spazio vettoriale delle matrici simmetriche ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Dalla decomposizione canonica ed equivariante sopra riportata, segue che la restrizione ${\displaystyle Z\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,}$ a ${\displaystyle \,\mathrm {F} _{SO}(M)}$ di un campo vettoriale ${\displaystyle {\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )}$-invariante ${\displaystyle Z\,}$ definito sopra ${\displaystyle \mathrm {F} M}$ si decompone nella somma di un campo vettoriale ${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$-invariante ${\displaystyle Z_{K}\,}$ definito sopra ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$ e di un campo vettoriale trasverso ${\displaystyle Z_{G}\,}$.

In particolare, per ogni campo vettoriale ${\displaystyle X\,}$ definito sopra la varietà di base ${\displaystyle (M,g)\,}$, segue che la restrizione ${\displaystyle {\hat {X}}\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,}$ a ${\displaystyle \,\mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ del suo rilevamento naturale ${\displaystyle {\hat {X}}\,}$ definito sopra ${\displaystyle \mathrm {F} M\to M}$ si decompone nella somma di un campo vettoriale ${\displaystyle {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)}$-invariante ${\displaystyle X_{K}\,}$ definito sopra ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)}$, detto rilevamento di Kosmann di ${\displaystyle X\,}$, e di un campo vettoriale trasverso ${\displaystyle X_{G}\,}$.

• (EN) Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, New edition, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 4 gennaio 2020 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

• Campo vettoriale
• Fibrato principale
• Varietà riemanniana
• Struttura di spin

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica