Formula di Erlang B

Nella teoria dei sistemi a coda Erlang B è la probabilità di blocco in un sistema a pura perdita cioè senza possibilità di accomodamento in coda. Essa esprime la probabilità che un cliente (o più in generale una richiesta di servizio) in arrivo in un sistema con m serventi e senza possibilità di accodamento venga rifiutato in quanto tutti i serventi sono occupati.

Tale probabilità è funzione del numero di serventi m e del traffico offerto A erlang ed è data da:

${\displaystyle E_{B}(m,A)={A^{m} \over m!}\left({\sum _{i=0}^{m}{A^{i} \over i!}}\right)^{-1}.}$

La formula in formato compatto è di difficile computazione e viene offerta generalmente in forma tabulata. Più algoritmicamente aggredibile è il formato ricorsivo:

${\displaystyle E_{B}(0,A)=1}$

${\displaystyle E_{B}(m,A)={{AE_{B}(m-1,A)} \over {m+AE_{B}(m-1,A)}}}$

dove:

• E_B è la probabilità di blocco
• m è il numero di risorse
• A è il traffico offerto in erlang

L'ipotesi sottostante alla distribuzione Erlang B è che il processo sia a perdita: una richiesta ricevuta e non soddisfatta viene persa.

Tale formula è utilizzata per dimensionare il numero di linee in uscita da un centralino telefonico al fine di garantire una probabilità di blocco inferiore a una soglia desiderata per un certo valore di traffico offerto.

Il nome Erlang B è in onore dell'ingegnere danese Agner Krarup Erlang che ha studiato per primo queste problematiche relative al traffico agli inizi del XX secolo.

In certi casi, tipicamente in fase di dimensionamento, può essere utile disporre di una formula che consente il calcolo per valori di m reali (ovviamente positivi):

${\displaystyle E_{B}(m,A)=\left(A\int _{0}^{\infty }e^{-At}(1+t)^{m}dt\right)^{-1}}$

Se si hanno k indipendenti v.c. casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di v.c. dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

${\displaystyle Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (1,\alpha _{i})}$

definendo la loro somma come

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} (1,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}),}$

allora si ha che

${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{k})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{k}/V)\sim \operatorname {Dir_{k}} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}).}$

dove Dir_k è una variabile casuale di Dirichlet.

• Erlang (unità di misura)
• Formula di Erlang C
• Variabile casuale Erlanghiana
• Agner Krarup Erlang
• Variabile casuale di Dirichlet

• Erlang Distribution, su xycoon.com.
• Introduzione alla Erlang B e C scritto da Ian Angus (PDF Document - in inglese)

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