Derivata esterna

In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

La derivata esterna di una forma differenziale di grado ${\displaystyle k}$ è una forma differenziale di grado ${\displaystyle k+1}$.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di ${\displaystyle f}$ è il differenziale ${\displaystyle df}$ di ${\displaystyle f}$, ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale ${\displaystyle X}$ si abbia ${\displaystyle df(X)=Xf}$, dove ${\displaystyle Xf}$ è la derivata direzionale di ${\displaystyle f}$ in direzione ${\displaystyle X}$.^[1]

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle df}$ è il differenziale di ${\displaystyle f}$ per ${\displaystyle f}$ funzione liscia.
• ${\displaystyle d(df)=0}$ per ogni funzione liscia ${\displaystyle f}$.
• ${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta }$, con ${\displaystyle \alpha }$ una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché ${\displaystyle d(d\alpha )=0}$ per ogni k-forma ${\displaystyle \alpha }$, mentre la terza implica, come caso particolare, che se ${\displaystyle f}$ è una funzione e ${\displaystyle \alpha }$ una k-forma allora ${\displaystyle d(f\alpha )=df\wedge \alpha +f\wedge d\alpha }$ poiché le funzioni sono forme di grado zero.

In un sistema di coordinate locale ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})}$ si considerino i differenziali ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$, che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$, con ${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ e ${\displaystyle 1\leq p\leq k}$, la derivata esterna di una k-forma:

${\displaystyle \omega =f_{I}{\text{d}}x^{I}=f_{i_{1},i_{2}\cdots i_{k}}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge {\text{d}}x^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}$

su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è definita nel modo seguente:^[1]

${\displaystyle {\text{d}}{\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{I}}$

Per una generica k-forma:

${\displaystyle \omega =\sum _{I}f_{I}dx_{I}}$

con ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{n})}$, la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

${\displaystyle \omega =f_{I}{\text{d}}x_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x_{i_{k}}}$

allora si ha:

${\displaystyle {\text{d}}{\omega }={\text{d}}(f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})}$

${\displaystyle ={\text{d}}f_{I}\wedge ({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})+f_{I}{\text{d}}({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})}$

${\displaystyle ={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}+\sum _{p=1}^{k}(-1)^{(p-1)}f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{p-1}}\wedge {\text{d}}^{2}x^{i_{p}}\wedge {\text{d}}x^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}$

${\displaystyle ={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}$

dove ${\displaystyle f_{I}}$ è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma ${\displaystyle \omega }$ quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci ${\displaystyle V_{0},...,V_{k}}$:

${\displaystyle {\text{d}}\omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\left(\omega (V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})\right)}$

${\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,{\hat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}$

dove ${\displaystyle [V_{i},V_{j}]}$ sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:

${\displaystyle \omega (V_{1},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{1},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k})}$

In particolare, per 1-forme si ha:

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])}$

dove ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono campi vettoriali.

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

Lo stesso argomento in dettaglio: Gradiente.

Una funzione liscia ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:

${\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\mathrm {d} x^{i}=\langle \nabla f,\cdot \rangle }$

In altre parole, la forma ${\displaystyle df}$ agisce su ogni campo vettoriale ${\displaystyle V}$ restituendo in ogni punto il prodotto scalare di ${\displaystyle V}$ con il gradiente ${\displaystyle \nabla f}$. La 1-forma ${\displaystyle df}$ è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di ${\displaystyle f}$ nello spazio cotangente ad ogni punto.

Lo stesso argomento in dettaglio: Divergenza.

Un campo vettoriale ${\displaystyle V=(v_{1},...,v_{n})}$ su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ possiede una corrispondente (n-1)-forma:

${\displaystyle \omega _{V}=v_{1}\;(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})}$

${\displaystyle =\sum _{p=1}^{n}{(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}}$

dove ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}}$ denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di ${\displaystyle \omega _{V}}$ su un'ipersuperficie è il flusso di ${\displaystyle V}$ attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Rotore (matematica).

Un campo vettoriale ${\displaystyle V}$ su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ possiede una corrispondente 1-forma:

${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\;\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\;\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\;\mathrm {d} x^{n}}$

Localmente, ${\displaystyle \eta _{V}}$ è il prodotto interno con ${\displaystyle V}$, e l'integrale di ${\displaystyle \eta _{V}}$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" ${\displaystyle -V}$ lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di ${\displaystyle \eta _{V}}$ è la 2-forma:

${\displaystyle \mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {rot} (V)}}$

• Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
• Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
• Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
• Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.

• Atlante (topologia)
• Derivata direzionale
• Differenziale (matematica)
• Divergenza
• Forma differenziale
• Funzione liscia
• Gradiente
• Rotore (matematica)
• Trasformazione lineare

• (EN) Eric W. Weisstein, Derivata esterna, su MathWorld, Wolfram Research.

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