Numero intoccabile

In teoria dei numeri, un numero intoccabile è un numero che non è la somma dei divisori propri di nessun altro numero, ovvero un intero ${\displaystyle n}$ tale che l'equazione

${\displaystyle \sigma (x)-x=n}$,

dove ${\displaystyle \sigma }$ sta per la funzione sigma, non ammetta nessuna soluzione. Ad esempio, 4 non è intoccabile perché è la somma dei divisori di 9 escluso lo stesso 9 (4=1+3), mentre 5 lo è perché non è la somma dei divisori propri di alcun numero. I primi numeri intoccabili sono: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304^[1].

Esistono infiniti numeri intoccabili, come dimostrato da Paul Erdős^[2]. Nessun numero intoccabile può essere il successivo di un numero primo, perché la somma dei divisori propri di p² vale p+1. Inoltre, con l'eccezione di 5 non può nemmeno essere esprimibile nella forma p+3, con p primo, in quanto per tutti i numeri primi p, a parte 2, la somma dei divisori di 2p, (come si può facilmente verificare) è pari proprio a p+3. Nessun numero intoccabile è anche un numero perfetto, perché la somma dei divisori propri di un numero perfetto è per definizione uguale al numero stesso.

Si ipotizza che, a parte 5, non esista nessun numero intoccabile dispari. Ciò seguirebbe da una versione più forte della congettura di Goldbach, che afferma che ogni numero pari maggiore di 6 possa essere espresso come somma di due numeri primi distinti. Difatti, se 2n = p+q, dove p e q sono numeri primi, allora la somma dei divisori propri di pq vale 1+p+q=2n+1: se la congettura è valida per qualunque n maggiore di 6, tutti i numeri dispari a parte 5 non sono intoccabili (visto che 1, 3 e 7 non lo sono per verifica empirica). Seguirebbe anche che nessun numero intoccabile con le eccezioni di 2 e 5 è anche un numero primo, altra questione tuttora aperta.

• (EN) Sequenza A070015, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.: per ogni intero, il più piccolo numero la cui somma dei divisori sia uguale all'intero stesso, o 0 se tale numero non esiste.

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