Superficie di Veronese

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In matematica, la superficie di Veronese è una superficie algebrica in uno spazio proiettivo a ${\displaystyle 5}$ dimensioni. Fu scoperta da Giuseppe Veronese (1854-1917), dal quale prende nome.

La superficie di Veronese ammette una immersione in uno spazio proiettivo a quattro dimensioni, costruito dalla proiezione di un punto generico dello spazio ${\displaystyle 5}$-dimensionale. La sua proiezione in uno spazio proiettivo tridimensionale è nota come superficie di Steiner.

A sua volta, la superficie di Veronese è l'unico caso di una varietà di Scorza-Severi di dimensione ${\displaystyle n=2}$.

La mappa di Veronese è una funzione fra spazi proiettivi di dimensione ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle 5}$, definita nel modo seguente:

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

dove ${\displaystyle [x:\ldots ]}$ denota le coordinate omogenee.

La superficie di Veronese è l'immagine della mappa di Veronese.

L'immagine di una varietà posta sotto una mappatura di Veronese è di nuovo una varietà; di più, ci si trova davanti ad un isomorfismo poiché esiste anche la mappatura inversa, ed è regolare. Più precisamente, le immagini di insiemi aperti in una topologia di Zariski sono ancora degli insiemi aperti. Questo serve a dimostrare che una varietà algebrica è l'intersezione di una varietà di Veronese e di uno spazio lineare, e che perciò ogni varietà algebrica è isomorfa ad un'intersezione di quadriche.

L'immagine dell'immersione di una superficie di Veronese, è una varietà proiettiva. L'immersione di una superficie di Veronese è un morfismo, cioè una varietà con proprietà determinate di regolarità nella geometria algebrica.

Se ${\displaystyle Y\subset P^{n}}$ è una varietà proiettiva, allora lo è anche ${\displaystyle \nu _{d}(Y)\subset P^{N}}$.

La mappa di Veronese di grado ${\displaystyle d}$ o varietà di Veronese generalizza l'idea di una mappatura di grado ${\displaystyle d}$ in ${\displaystyle n+1}$ variabili. In altre parole, la mappa di Veronese di grado ${\displaystyle d}$ è la mappa

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m},}$

dove ${\displaystyle m}$ è definito come:

${\displaystyle m={n+d \choose d}-1={\frac {1}{n!}}(d+1)^{(n)}-1,}$

dove ${\displaystyle {n+d \choose d}}$ indica il coefficiente binomiale, e ${\displaystyle (d+1)^{(n)}}$ indica il fattoriale crescente.

Se ${\displaystyle n=1}$ si ha:

${\displaystyle \nu _{d}(\left[x_{0}:x_{1}\right])=\left[x_{0}^{d}:x_{0}^{d-1}x_{1}:x_{0}^{d-2}x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}^{d}\right].}$

Se ${\displaystyle d=2}$ si ha:

${\displaystyle \nu _{2}(\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right])=\left[x_{0}^{2}:x_{0}x_{1}:\ldots :x_{0}x_{n}:x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}x_{n}:\ldots :x_{n}^{2}\right].}$

Per ${\displaystyle n=1,}$, la varietà di Veronese è nota come curva razionale normale, della quale sono famigliari gli esempi di grado minore:

• per ${\displaystyle n=1,d=1}$, la mappa di Veronese è semplicemente l'identità lungo la retta proiettiva;
• per ${\displaystyle n=1,d=2,}$ la varietà di Veronese è la comune parabola ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$ nelle coordinate affini ${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• per ${\displaystyle n=1,d=3,}$ la varietà di Veronese è una twisted cubic (funzione cubica e curva algebrica liscia ${\displaystyle C}$ di grado ${\displaystyle 3}$ nello spazio proiettivo tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$) ${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$ nelle coordinate affini ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

• (EN) Eric W. Weisstein, Superficie di Veronese, su MathWorld, Wolfram Research.

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