Utente:Peterpan98/Sandbox
In geometria, in particolare in geometria simplettica, il teorema di Darboux è un importante risultato da cui discende il fatto che due qualsiasi varietà simplettiche della stessa dimensione sono localmente simplettomorfe, ed in particolare sono simplettomorfe a con la forma simplettica standard .[1][2]
Il teorema
[modifica | modifica wikitesto]Sia una varietà simplettica, e sia un punto su di essa. Allora, esiste una carta locale definita in un intorno di ,
tale che su
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Per dimostrare il teorema si applica il teorema relativo di Moser sulla sottovarietà con
Scegliendo una qualsiasi base simplettica per si possono definire le coordinate
in un qualche intorno di tali che
Il teorema relativo di Moser assicura l'esistenza di un diffeomorfismo tale che
Ora, dal momento che
è sufficiente scegliere come coordinate e .
Conseguenze
[modifica | modifica wikitesto]Come conseguenza del teorema di Darboux si può affermare che localmente le varietà simplettiche di una stessa dimensione sono tutte isomorfe a . Pertanto, se si dimostra una certa proprietà locale su che sia invariante per simplettomorfismi , allora questa sarà valida su ogni varietà simplettica di dimensione .
A differenza delle varietà riemanniane, che si possono classificare localmente tramite la curvatura, le varietà simplettiche non ammettono invarianti locali.
Note
[modifica | modifica wikitesto]Local section of flow
[modifica | modifica wikitesto]Consider a vector field on a -dimensional manifold . A local section of the flow of on is a (connected) submanifold of dimension which obeys
i.e. is everywhere transversal to .
A local section can not contain any equilibrium point of the vector field, since . Beside this obstruction, we can say that local sections exists for all non-equilibrium points: indeed we have the following
.
- Proposition:[3] If is such that then there exists a local section of the flow of that containes
Let be the hyperplane passing through and orthogonal to . Now, consider the function
This function is continuous, and since in it is strictly positive (it's the sqared norm of , ) we can take a neighborhood of where the function is positive, meaning that for all the field is transversal to . In conclusion, the section is given by .
Properties of local sections
[modifica | modifica wikitesto]Flow box
[modifica | modifica wikitesto]Definition
[modifica | modifica wikitesto]Given a vector field , a flow box for its flow is given by the couple where is an open set and
is a diffeomorphism, where and is a connected open set such that
Rectifying coordinates
[modifica | modifica wikitesto]A flow box gives a particular coordinate system, denoted by
in which the differential equation is written as
Such coordinates are called rectifying since , namely the restriction of the flow of to the flow box domain, is the rectified flow acting as
Initial section
[modifica | modifica wikitesto]Notice that is a section of the flow of : such hypersurface is called initial section of the flow box . Then, the domain of the flow box coincides with
The restriction of to the set gives an embedding . Therefore, coordinates parametrize the inital section of the flow box.
Existence of the flow box
[modifica | modifica wikitesto]We have the following proposition guaranteeing the existence of flow boxes under general conditions (it is sufficient to be "away from equilibriums")
- Proposition: Given a vector field on and a point such that , the following hold:
- There exists a flow box such that
- Suppose that is injective for all , for some . Then, there exists a flowbox such that
Sommersione
[modifica | modifica wikitesto]In matematica una sommersione è una mappa tra varietà differenziali il cui differenziale è suriettivo. La nozione di sommersione è duale a quella di immersione.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Siano ed due varietà differenziali, di dimensione rispettivamente con . La funzione differenziabile è una sommersione nel punto se il suo differenziale
è suriettivo.
Se la funzione è una sommersione in ogni punto per qualche insieme , allora si dice che è una sommersione in , o anche che è sommersiva.
Equivalentemente, possiamo affermare che è sommersiva in se il differenziale ha rango massimo .
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- La proiezione naturale $\pi : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n% dove $m\geq n% definita come $\pi(x_1, \dots, x_m)=(x_1, \dots, x_n)% è una sommersione
- Una funzione scalare $f: A\subseteq \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}% è sommersiva in $p \in A% se e solo se $\nabla f(x_0)\neq 0%
- Un diffeomorfismo locale è una sommersione (e anche un'immersione)
- ^ Lectures on Symplectic Geometry, Ana Cannas da Silva (PDF), su people.math.ethz.ch.
- ^ Franco Cardin, Elementary symplectic topology and mechanics, Springer, 2015.
- ^ Hall Theorem 5.6