Scomposizione dei polinomi

In matematica, l'espressione scomposizione di un polinomio in fattori, anche chiamata fattorizzazione di un polinomio, significa esprimere un dato polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. Ci sono alcuni polinomi che non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore e sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche^[1].

Lo stesso argomento in dettaglio: Raccoglimento a fattor comune.

Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale^[2].

Un esempio di raccoglimento totale è:

${\displaystyle AB+AC+AD=A(B+C+D).}$

In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:

${\displaystyle 3AB+9AC=3A(B+3C).}$

Un esempio di raccoglimento parziale può essere:

${\displaystyle AB+AC+B^{2}+BC=A(B+C)+B(B+C).}$

In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio ${\displaystyle B+C}$), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:

${\displaystyle A(B+C)+B(B+C)=(B+C)(A+B).}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotti notevoli.

Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.

Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere^[3]:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.}$

Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.

I trinomi di secondo grado si dicono particolari (o caratteristici) quando sono espressi nella forma^[4]:

${\displaystyle x^{2}+sx+p}$

nel quale:

• il coefficiente di ${\displaystyle x^{2}}$ è ${\displaystyle 1}$;
• ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle p}$ sono due numeri reali che esprimono rispettivamente la somma e il prodotto delle due radici ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ del trinomio.

Una volta trovati (se esistono) i due numeri ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ tali che ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=s}$ e ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=p}$, il trinomio è scomponibile nella forma:

${\displaystyle x^{2}+sx+p=(x+x_{1})(x+x_{2})}$

Ad esempio:

${\displaystyle x^{2}+5x-6}$

${\displaystyle s=5=6-1}$

${\displaystyle p=-6=6\cdot (-1).}$

È quindi possibile scomporre il trinomio di secondo grado in questo modo:

${\displaystyle x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6).}$

In generale si avrà che:

${\displaystyle x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Trinomio notevole.

I trinomi di secondo grado sono del tipo:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$ ${\displaystyle \;\;\;\;(a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0)}$

Se il discriminante del trinomio è positivo o nullo (${\displaystyle \Delta \geq 0}$), allora il trinomio può essere scomposto come^[5]:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),}$

dove ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Regola di Ruffini.

Dato un generico polinomio ${\displaystyle P(x)}$, ad esempio ${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2}$, se si riesce a trovare un numero ${\displaystyle a}$ tale che ${\displaystyle P(a)=0}$, allora il polinomio ${\displaystyle P(x)}$ è divisibile per il binomio di primo grado ${\displaystyle (x-a)}$, quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente ${\displaystyle Q(X),}$ il polinomio iniziale ${\displaystyle P(x)}$ può quindi essere scomposto come^[6]:

${\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x),}$

nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri ${\displaystyle (a,b,c)}$ che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:

${\displaystyle \,P(x)=(x-a)(x-b)(x-c),}$

Nel polinomio in esempio ${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2}$ si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri ${\displaystyle +1,-1,+2,-2,}$ si trova che ${\displaystyle P(1)=0}$, ${\displaystyle P(-1)=0}$ e ${\displaystyle P(-2)=0}$, quindi si potrà scrivere:

${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-x-2=(x-1)(x+1)(x+2).}$

Anche se è ${\displaystyle -2}$ a rendere nullo il polinomio, si ricordi che nell'espressione generale il termine ${\displaystyle a}$ compare in ${\displaystyle (x-a)}$ anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.

Di seguito un altro esempio: si consideri il polinomio ${\displaystyle P(x)=x^{3}-2x^{2}+4x-3}$; per questo polinomio sarà ${\displaystyle P(1)=0}$. Dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio, si dovrà procedere con la divisione mediante la regola di Ruffini; quindi sarà:

${\displaystyle Q(x)=x^{2}-x+3}$

allora il polinomio si potrà così scomporre:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+4x-3=(x-1)(x^{2}-x+3).}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotti notevoli.

Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli^[7]:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b);}$

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2};}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2};}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2ac-2bc=(a-b+c)^{2};}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^{2};}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3};}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}.}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

Sia ${\displaystyle (x^{n}+t)}$ con ${\displaystyle n,t\in N}$ tali che ${\displaystyle n}$ multiplo di 4 e ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot {\sqrt {t}}}}\in N}$ allora risulta la seguente uguaglianza:

${\displaystyle (x^{n}+t)=(x^{n/2}+x^{n/4}\cdot {\sqrt {2\cdot {\sqrt {t}}}}+{\sqrt {t}})\cdot (x^{n/2}-x^{n/4}\cdot {\sqrt {2\cdot {\sqrt {t}}}}+{\sqrt {t}})}$

Esempio:

${\displaystyle (x^{4}+4)=(x^{2}+2x+2)\cdot (x^{2}-2x+2)}$

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Bologna, Zanichelli, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

• Fattorizzazione
• Frazione algebrica
• Fattore terminale

• Spiegazione del significato geometrico della scomposizione dei polinomi.

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