Inserzione Aron

Voce principale: Misure di potenza nei sistemi trifase.

L'inserzione Aron è un metodo di misura della potenza elettrica di un sistema trifase tramite l'ausilio di due soli wattmetri. Prende il nome dal fisico tedesco Hermann Aron.

Sebbene in un sistema trifase le potenze da misurare siano tre, una per ogni fase, con l'ausilio dell'inserzione Aron si riesce a misurare la potenza del sistema con due soli wattmetri, collegando ad esempio le amperometriche sulle fasi 1 e 2 e le voltmetriche tra le fasi 1-3 e 2-3. La somma delle letture dei due wattmetri è la potenza attiva assorbita dal sistema trifase.

I wattmetri possono essere collegati con le amperometriche su due fasi qualsiasi mentre le voltmetriche vanno collegate con un capo sulla stessa fase dell'amperometrica e l'altro capo sulla fase libera. Sono quindi possibili tre configurazioni, tutte valide.

La spiegazione in formule di questo metodo è esposta di seguito. Ponendo ${\displaystyle {\bar {E}}_{1},{\bar {E}}_{2},{\bar {E}}_{3}}$ le tensioni stellate delle tre fasi (R, S, T in figura), la potenza attiva del sistema è:

${\displaystyle P={\bar {E}}_{1}\cdot {\bar {I}}_{1}+{\bar {E}}_{2}\cdot {\bar {I}}_{2}+{\bar {E}}_{3}\cdot {\bar {I}}_{3}}$

In un sistema trifase a tre fili vale la relazione:

${\displaystyle {\bar {I}}_{1}+{\bar {I}}_{2}+{\bar {I}}_{3}=0}$

Ecco ora le tre combinazioni. Sostituendo ${\displaystyle I_{2}=-I_{1}-I_{3}}$ otteniamo una prima configurazione:

${\displaystyle P={\bar {E}}_{1}\cdot {\bar {I}}_{1}+{\bar {E}}_{2}\cdot (-{\bar {I}}_{1}-{\bar {I}}_{3})+{\bar {E}}_{3}\cdot {\bar {I}}_{3}}$

${\displaystyle P=({\bar {E}}_{1}-{\bar {E}}_{2})\cdot {\bar {I}}_{1}+({\bar {E}}_{3}-{\bar {E}}_{2})\cdot {\bar {I}}_{3}={\bar {V}}_{12}\cdot {\bar {I}}_{1}+{\bar {V}}_{32}\cdot {\bar {I}}_{3}=W_{a}+W_{b}}$

Dove ${\displaystyle {\bar {V}}_{12},{\bar {V}}_{32}}$ indicano le tensioni concatenate tra le fasi 1-2 e 3-2, rispettivamente. Sostituendo invece ${\displaystyle I_{1}=-I_{2}-I_{3}}$ otteniamo la seconda configurazione:

${\displaystyle P={\bar {V}}_{21}\cdot {\bar {I}}_{2}+{\bar {V}}_{31}\cdot {\bar {I}}_{3}}$

Mentre sostituendo ${\displaystyle {\bar {I}}_{3}=-{\bar {I}}_{1}-{\bar {I}}_{2}}$ otteniamo la terza:

${\displaystyle P={\bar {V}}_{13}\cdot {\bar {I}}_{1}+{\bar {V}}_{23}\cdot {\bar {I}}_{2}}$

L'inserzione Aron è valida soltanto per sistemi trifasi a tre fili perché per i sistemi a quattro fili (3 +N), la somma delle correnti delle tre fasi, non è zero ma uguale e contraria a quella del neutro.

Mediante l'inserzione Aron è anche possibile misurare, per sistemi simmetrici ed equilibrati, la potenza reattiva assorbita dalla rete.

${\displaystyle Q={\sqrt[{}]{3}}(W_{a}-W_{b})}$

Il fattore di potenza è dato da:

${\displaystyle \cos {\varphi }={\frac {P}{\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {W_{a}+W_{b}}{\sqrt {(W_{a}+W_{b})^{2}+3\cdot (W_{a}-W_{b})^{2}}}}}$

adesso dimostreremo che l'inserzione di Aron ha dei grossi limiti quando il fattore di potenza è basso.

l'errore assoluto nella misura della potenza attiva è dato da:

${\displaystyle \Delta P={\frac {\partial (W_{a}+W_{b})}{\partial W_{a}}}\Delta W_{a}+{\frac {\partial (W_{a}+W_{b})}{\partial W_{b}}}\Delta W_{b}=\Delta W_{a}+\Delta W_{b}}$

l'errore relativo sarà dunque:

${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}={\frac {\Delta W_{a}+\Delta W_{b}}{W_{a}+W_{b}}}}$

si può dimostrare che per ${\displaystyle \varphi \geq 60^{o}}$ ${\displaystyle W_{a}}$ e ${\displaystyle W_{b}}$ hanno valori prossimi e segno opposto ed in particolare per ${\displaystyle \varphi =90^{o}}$ risulta ${\displaystyle W_{a}=-W_{b}}$ quindi l'errore relativo tende all'infinito.

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