Gauge di Lorenz

Nell'ambito della teoria di gauge, il gauge di Lorenz è la scelta dei potenziali del campo elettromagnetico tali da soddisfare la condizione (detta condizione di Lorenz)^[1]:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$

dove ${\displaystyle \mathbf {A} }$ è il potenziale magnetico e ${\displaystyle \varphi }$ il potenziale elettrico.

Tale condizione ha la proprietà di essere Lorentz invariante e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge: se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.^[2][1] La condizione di Lorenz è una proprietà imposta al potenziale elettromagnetico utilizzata nel calcolo di campi elettromagnetici variabili nel tempo attraverso i potenziali ritardati.^[3]

Tale scelta appare particolarmente conveniente in elettrodinamica nella soluzione delle equazioni di Maxwell, ed in particolare nel calcolo dei potenziali ritardati e nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche. Tale condizione nella scelta della gauge si estende anche ad altri campi vettoriali, come il campo di Yang-Mills.

Questa scelta di gauge prende il nome dal fisico Ludvig Lorenz, da non confondere con il più noto Hendrik Lorentz.

La condizione di Lorenz:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$

può essere scritta in notazione tensoriale:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

dove ${\displaystyle A^{\mu }}$ è il potenziale elettromagnetico.

Si può dimostrare che nell'ambito di questo gauge le equazioni del potenziale elettromagnetico possono essere espresse in forma simmetrica:^[4][5]

${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

${\displaystyle \Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho }$

dove ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$ è la velocità della luce nel vuoto e ${\displaystyle \Box }$ l'operatore d'Alembertiano. Tali relazioni valgono tuttavia anche in mezzi polarizzati se ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \mathbf {J} }$ sono le densità sorgenti dei campi ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ calcolate a partire dai potenziali ${\displaystyle \varphi \ }$ ed ${\displaystyle \mathbf {A} }$ attraverso le definizioni di campo elettrico e campo magnetico a partire dai loro potenziali:^[6]

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Le soluzioni esplicite per i potenziali sono uniche se è posto che si annullino all'infinito sufficientemente rapidamente, e sono le equazioni di ritardo:^[7]

${\displaystyle {\mathit {\mathrm {\varphi } }}(\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '}$

• Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) L. Lorenz, On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents Philos. Mag. 34, 287–301, 1867.
• (EN) J. van Bladel, Lorenz or Lorentz?. IEEE Antennas Prop. Mag. 33, 2, p. 69, April 1991.
• (EN) R. Becker, Electromagnetic Fields and Interactions, chap. DIII. Dover Publications, New York, 1982.
• (EN) A. O'Rahilly, Electromagnetics, chap. VI. Longmans, Green and Co, New York, 1938.
• (EN) R. Nevels, C.-S. Shin, Lorenz, Lorentz, and the gauge, IEEE Antennas Prop. Mag. 43, 3, pp. 70–1, 2001.
• (EN) E. T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, Vols. 1–2. New York: Dover, p. 268, 1989.

• Equazioni di Jefimenko
• Equazioni di Maxwell
• Forza di Lorentz
• Potenziali ritardati
• Potenziale di Liénard-Wiechert
• Quadrivettore

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