Bandiera (spazio vettoriale)

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In matematica, in particolare in algebra lineare, una bandiera è una successione di sottospazi vettoriali con determinate proprietà di uno spazio vettoriale dato.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n}$. Si chiama bandiera (viene talvolta usato anche il termine ventaglio) per ${\displaystyle V}$ ogni successione ${\displaystyle \{V_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ di sottospazi di ${\displaystyle V}$ tali che:

• ${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \dots \subseteq V_{n};}$
• ${\displaystyle \dim V_{i}=i}$ per ogni ${\displaystyle i}$.

Osserviamo inoltre che ogni base ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$ di ${\displaystyle V}$ induce una bandiera formata da ${\displaystyle V_{i}=\mathrm {Span} (v_{1},\dots ,v_{i})}$ e per ogni bandiera esiste una base che la induce.

Sia ${\displaystyle T\colon V\to V}$ un endomorfismo, ${\displaystyle B}$ base di ${\displaystyle V}$. ${\displaystyle B}$ è base a bandiera per ${\displaystyle T}$ se i sottospazi della bandiera indotta da ${\displaystyle B}$ sono ${\displaystyle T}$-invarianti, ossia per ogni ${\displaystyle i}$: ${\displaystyle T[\mathrm {Span} (v_{1},\dots ,v_{i})]\subseteq \mathrm {Span} (v_{1},\dots ,v_{i})}$.

Questa nozione è utile per stabilire se ${\displaystyle T}$ è triangolabile, infatti un endomorfismo è triangolabile se e solo se esiste una base a bandiera per tale endomorfismo.

• Spazio vettoriale
• Triangolarizzabilità
• Endomorfismo
• Autovettore e autovalore

• (EN) Eric W. Weisstein, Bandiera, su MathWorld, Wolfram Research.

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