Serie di Mercator

In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.

Essa è data dalla formula

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots }$ ,

espressione valida per ${\displaystyle -1<x\leq 1}$.

Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.

Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):

${\displaystyle 1+t+t^{2}+\ldots +t^{n-1}={\frac {1-t^{n}}{1-t}}\quad |t|<1,}$

la quale fornisce, in ragione ${\displaystyle -1<-t<1}$ e per ${\displaystyle n\to +\infty }$:

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots }$

Integriamo i membri da ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt,}$

e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}{\frac {(1+t)^{\prime }}{1+t}}\,dt=\ln {(x+1)},}$

per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per ${\displaystyle |x|<1}$, possiamo integrare termine a termine:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt}=\int _{0}^{x}{dt}\ -\ \int _{0}^{x}{tdt}\ +\ \int _{0}^{x}{t^{2}dt}\ -\ \int _{0}^{x}{t^{3}dt}\ +\ \cdots =x\ -\ {\frac {x^{2}}{2}}\ +\ {\frac {x^{3}}{3}}\ -\ {\frac {x^{4}}{4}}\ +\ \cdots }$

Quindi abbiamo ottenuto:

${\displaystyle x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}=\ln(1+x)\quad {\mbox{ per }}|x|<1.}$

Ponendo ${\displaystyle x=1}$, la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}$

Si verifica infatti che la serie

${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}},}$

converge uniformemente anche nel punto ${\displaystyle x=1}$ (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione ${\displaystyle \ln {(1+x)}}$ ammettono lo stesso limite per ${\displaystyle x\rightarrow 1^{-}}$, cioè:

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}}=\lim _{x\to 1^{-}}{\ln {(1+x)}}=\ln {2}.}$

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a ${\displaystyle z=1}$ della funzione eta di Dirichlet ${\displaystyle \eta (z)}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Serie di Mercator, su MathWorld, Wolfram Research.
• (SV) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Göteborg, p. 10.

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