Rombidodecadodecaedro

Rombidodecadodecaedro
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	30 quadrati 12 pentagoni 12 pentagrammi
Nº facce	54
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-6
Incidenza dei vertici	4.5/2.4.5
Notazione di Wythoff	5/2 | 5 2
Notazione di Schläfli	t0,2{5⁄2,5}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Esacontaedro trapezoidale medio
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il rombidodecadodecaedro è un poliedro stellato uniforme avente 54 facce - 30 quadrate, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 120 spigoli e 60 vertici,^[1] che, data la sua costruzione di Wythoff può essere anche visto come un grande dodecaedro espanso.

L'inviluppo convesso del rombidodecadodecaedro, spesso indicato con il simbolo U₃₈, è un icosaedro troncato non uniforme.

Icosaedro troncato (facce regolari)

Inviluppo convesso (esagoni isogonali)

Rombidodecadodecaedro

Le coordinate cartesiane per i vertici del rombidodecadodecaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:

(±1/φ², 0, ±φ²)

(±1, ±1, ±${\displaystyle {\sqrt {5}}}$)

(±2, ±1/φ, ±φ)

dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea.

Il rombidodecadodecaedro condivide la disposizione dei vertici con i composti uniformi di 10 e di 20 prismi triangolari, mentre condivide la disposizione degli spigoli con l'icosidodecadodecaedro, con cui ha in comune le facce pentagonali e a forma di pentagramma, e con il rombicosaedro, con cui ha in comune le facce quadrate.

Inviluppo convesso	Rombidodecadodecaedro	Icosidodecadodecaedro
Rombicosaedro	Composto di dieci prismi triangolari	Composto di venti prismi triangolari

Esacontaedro trapezoidale medio
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Aquiloni
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	54
Caratteristica di Eulero	-6
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Rombidodecadodecaedro
Manuale

L'esacontaedro trapezoidale medio è un poliedro isoedro non convesso, nonché il duale del rombidodecadodecaedro, avente 60 facce intersecanti, tutte a forma di aquilone, come quella qua sotto riportata:^[2]

Posta uguale a 1 la lunghezza dello spigolo del rombidodecadodecaedro, le facce ad aquilone del suo duale hanno i lati più corti di lunghezza pari a ${\displaystyle 3{\frac {7{\sqrt {30}}-5{\sqrt {6}}}{110}}\approx 0,71163}$, e quelli più lunghi di lunghezza pari a ${\displaystyle 3{\frac {5{\sqrt {6}}+7{\sqrt {30}}}{110}}\approx 1,37967}$. Per quanto riguarda i loro angoli interni, invece, l'ampiezza dei due angoli laterali è pari a ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{6}}\right)\approx 80,40539^{\circ }}$, quella dell'angolo al vertice è pari a ${\displaystyle \arccos \left({\frac {-3+7{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 58,18445^{\circ }}$, è infine quella dell'angolo alla base è pari a ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {3+7{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 141,00369^{\circ }}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Rombidodecadodecaedro, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Esacontaedro trapezoidale medio, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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