Metodo di Eulero semi-implicito
In matematica il metodo di Eulero semi-implicito, detto anche Eulero simplettico, Eulero semi-esplicito, Eulero-Cromer[1], e Newton-Størmer-Verlet (NSV), è una variante del metodo di Eulero usato per risolvere equazioni di Hamilton. È un integratore simplettico, pertanto consente di ottenere risultati migliori rispetto al metodo di Eulero semplice.
Impostazione del problema
[modifica | modifica wikitesto]Il metodo può essere applicato ad una coppia di equazioni differenziali nella forma
dove e sono funzioni date e e possono essere vettori o scalari. Le equazioni di Hamilton assumono questa forma se la funzione hamiltoniana ha la forma
Inoltre le condizioni iniziali devono essere note:
Formulazione del metodo
[modifica | modifica wikitesto]Il metodo produce una soluzione discreta approssimata iterando le seguenti funzioni:
dove è l'intervallo di tempo e è il tempo dopo iterazioni.
La differenza con il metodo di Eulero classico consiste nel fatto che il metodo semi-implicito usa nell'equazione per , mentre il metodo classico usa .
Utilizzando il metodo con un intervallo di tempo negativo per calcolare da consente di ottenere la seconda variante del metodo di Eulero semi-implicito:
la quale presenta simili proprietà.
Il metodo di Eulero semi-implicito, come quello classico, è un integratore del primo ordine: ciò significa che produce un errore dell'ordine di Δt. Tuttavia, a differenza del metodo classico, quello semi-implicito è un integratore simplettico, perciò conserva quasi inalterata l'energia (se la funzione hamiltoniana è indipendente dal tempo), mentre nel metodo classico essa aumenta costantemente.
Alternare le due varianti del metodo semi-implicito conduce, in una forma semplificata, all'integrazione di Størmer-Verlet e in un'altra forma semplificata al metodo del salto della rana, aumentando sia l'ordine dell'errore che quello della conservazione dell'energia.
Il metodo di Eulero semi-implicito rappresenta correttamente il sistema simulato se le radici complesse dell'equazione caratteristica si trovano all'interno di questa circonferenza:
Come si può vedere, il metodo è in grado di simulare correttamente sia sistemi stabili che instabili. Ciò costituisce un vantaggio rispetto al metodo classico e a quello implicito.
Esempio
[modifica | modifica wikitesto]Il moto di una molla, seguendo la legge di Hooke, si può rappresentare come:
Il metodo di Eulero semi-implicito in questo caso è:
Sostituendo nella seconda equazione con l'espressione data dalla prima equazione, l'iterazione può essere espressa nella seguente forma matriciale:
Note
[modifica | modifica wikitesto]Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Franz J. Vesely, Computational Physics: An Introduction, 2nd, Springer, 2001, pp. 117, ISBN 978-0-306-46631-1.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie
- Metodo di Eulero
- Metodo di Eulero all'indietro
- Equazione differenziale ordinaria
- Meccanica hamiltoniana
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Branislav K. Nikolic, Euler-Cromer method, su physics.udel.edu, University of Delaware. URL consultato il 29 settembre 2021.