Distribuzione di Rayleigh

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Distribuzione di Rayleigh
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \sigma >0\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {z}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle 1-e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$
Valore atteso	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
Mediana	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\log(4)}}}$
Moda	${\displaystyle \sigma \ }$
Varianza	${\displaystyle (2-{\frac {\pi }{2}})\sigma ^{2}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0,631}$
Curtosi	${\displaystyle -2{\frac {3\pi ^{2}-12\pi +8}{(4-\pi )^{2}}}\approx -0,245}$
Entropia	${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}\gamma }$ con ${\displaystyle \gamma }$ la costante di Eulero-Mascheroni
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle 1+{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}{\Big (}{\text{erf}}{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}+1{\Big )}}$ con erf la funzione degli errori
Funzione caratteristica	${\displaystyle 1-{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}{\Big (}w{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}-i{\Big )}}$ con w la funzione degli errori complessa
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione di Rayleigh è una distribuzione di probabilità che descrive la distanza dall'origine di un punto ${\displaystyle (X,Y)}$ nel piano euclideo le cui coordinate siano indipendenti e seguano entrambe la distribuzione normale centrata.

Prende il nome da Lord Rayleigh.

La distribuzione di Rayleigh di parametro ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ descrive la variabile aleatoria ${\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$, dove ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$.

La sua funzione di densità di probabilità è

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$.

Questa si può ottenere direttamente dalla densità di probabilità della distribuzione normale, ${\displaystyle \textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$, sfruttando l'isotropia del vettore ${\displaystyle (X,Y)}$:

${\displaystyle f(z)=\int _{x^{2}+y^{2}=z^{2}}\phi (x)\phi (y)d\mu =2\pi z{\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$.

La sua funzione di ripartizione è

${\displaystyle F(z)=1-e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$.

La variabile aleatoria ${\displaystyle kZ={\sqrt {(kX)^{2}+(kY)^{2}}}}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro ${\displaystyle k^{2}\sigma ^{2}}$.

La variabile aleatoria ${\displaystyle Z}$ con distribuzione di Rayleigh di parametro ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ha

• momenti semplici

${\displaystyle \mu _{n}=E[Z^{n}]=(2\sigma ^{2})^{\frac {n}{2}}\Gamma (1+{\tfrac {n}{2}})}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ è la funzione Gamma, con ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)={\tfrac {n}{2}}!}$ se ${\displaystyle n}$ è pari.

In particolare si ottengono

• la speranza matematica

${\displaystyle E[X]={\sqrt {{\tfrac {\pi }{2}}\sigma ^{2}}}}$;

• la varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}=2\sigma ^{2}-{\tfrac {\pi }{2}}\sigma ^{2}={\tfrac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$;

• gli indici di asimmetria e curtosi

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}{\pi -3}}{(4-\pi )^{\frac {3}{2}}}}\approx 0,631}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}=-2{\frac {3\pi ^{2}-12\pi +8}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0,245}$.

I quantili ${\displaystyle q_{\alpha }}$ di ordine ${\displaystyle \alpha }$ sono

${\displaystyle q_{\alpha }={\sqrt {2\sigma ^{2}\log {\frac {1}{1-\alpha }}}}}$;

in particolare

• la mediana è ${\displaystyle {\sqrt {2\sigma ^{2}\log 2}}={\sqrt {\sigma ^{2}\log 4}}}$.

Secondo il metodo della massima verosimiglianza lo stimatore del parametro ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ di ${\displaystyle n}$ variabili aleatorie indipendenti con medesima distribuzione di Rayleigh è

${\displaystyle S^{2}={\frac {X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}}{2n}}}$.

Se ${\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ allora ${\displaystyle (Z/\sigma )^{2}}$ segue la distribuzione chi quadrato ${\displaystyle \chi ^{2}(2)}$, ovvero la distribuzione esponenziale ${\displaystyle {\mathcal {E}}({\tfrac {1}{2}})}$.

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann estende a tre dimensioni la distribuzione di Rayleigh, descrivendo la distanza ${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}}$ dall'origine di un vettore ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ nello spazio euclideo a tre dimensioni, le cui coordinate siano indipendenti e seguano la medesima legge normale centrata.

La distribuzione di Rice generalizza invece la posizione del punto ${\displaystyle (X,Y)}$, prendendo ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ non centrate.

Anche la distribuzione di Weibull è una generalizzazione della distribuzione di Rayleigh, fornendo un'interpolazione tra la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Rayleigh.

• Distribuzione normale
• John William Strutt Rayleigh

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Distribuzione di Rayleigh

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Rayleigh, su MathWorld, Wolfram Research.

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