Campo di gluoni

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Nella fisica teorica delle particelle, il campo dei gluoni è un campo quadrivettoriale che caratterizza la propagazione dei gluoni nell'interazione forte tra i quark. Svolge lo stesso ruolo nella cromodinamica quantistica del quadripotenziale elettromagnetico nell'elettrodinamica quantistica – il campo di gluoni costruisce il tensore di forza del campo di gluoni.

In questo articolo, gli indici latini assumono valori 1, 2, ..., 8 per le otto cariche di colore dei gluoni, mentre gli indici greci assumono valori 0 per le componenti temporali e 1, 2, 3 per le componenti spaziali dei vettori quadridimensionali e dei tensori nello spaziotempo. In tutte le equazioni, la convenzione di sommatoria viene utilizzata su tutti gli indici di colore e tensore, se non diversamente specificato.

I gluoni possono avere otto cariche di colore, quindi ci sono otto campi, a differenza dei fotoni che sono neutri e quindi c'è un solo campo di fotoni.

I campi di gluoni per ciascuna carica di colore hanno ciascuno una componente "simile al tempo" analoga al potenziale elettrico e tre componenti "simile allo spazio" analoghe al potenziale del vettore magnetico. Usando simboli simili:^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{n}(\mathbf {r} ,t)=[\underbrace {{\mathcal {A}}_{0}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{timelike}},\underbrace {{\mathcal {A}}_{1}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{spacelike}}]=[\phi ^{n}(\mathbf {r} ,t),\mathbf {A} ^{n}(\mathbf {r} ,t)]}$

dove n = 1, 2, ..., 8 non sono esponenti ma enumerano le otto cariche di colore dei gluoni, e tutte le componenti dipendono dal vettore posizione r del gluone e dal tempo t. Ogni ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}}$ è un campo scalare, per qualche componente dello spaziotempo e carica di colore del gluone.

Le matrici di Gell-Mann ${\displaystyle \lambda _{a}}$ sono otto matrici 3 × 3 che formano rappresentazioni matriciali del gruppo SU (3). Sono anche generatori del gruppo SU(3), nel contesto della meccanica quantistica e della teoria dei campi; un generatore può essere visto come un operatore corrispondente a una trasformazione di simmetria. Queste matrici giocano un ruolo importante nella QCD in quanto quest'ultima è una teoria di gauge del gruppo di gauge SU(3) ottenuta prendendo la carica di colore per definire una simmetria locale: ogni matrice di Gell-Mann corrisponde a una particolare carica di colore del gluone, che a sua volta può essere usata per definire operatori di carica di colore. I generatori di un gruppo possono anche costituire una base per uno spazio vettoriale, quindi il campo di gluoni complessivo è una "sovrapposizione" di tutti i campi di colore. In termini di matrici Gell-Mann (divise per 2 per comodità),

${\displaystyle t_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}\,,}$

le componenti del campo di gluoni sono rappresentate da matrici 3 × 3, date da:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\equiv t_{1}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{1}+t_{2}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{2}+\cdots +t_{8}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{8}}$

o, raccogliendole in un vettore di quattro matrici 3 × 3:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}(\mathbf {r} ,t)=[{\mathcal {A}}_{0}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{1}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}(\mathbf {r} ,t)]}$

il campo di gluoni è:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}=t_{a}{\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{a}\,.}$

La derivata covariante di gauge ${\displaystyle D_{\mu }}$ è necessaria per trasformare i campi di quark in covarianza manifesta; le derivate parziali che formano il quadrigradiente ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ da sole non bastano. I componenti che agiscono sui campi di quark tripletti di colore sono dati da:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,}$

dove i è l'unità immaginaria, e

${\displaystyle g_{s}={\sqrt {4\pi \alpha _{s}}}}$

è la costante di accoppiamento adimensionale per la QCD, e ${\displaystyle \alpha _{s}}$ è la costante di accoppiamento forte. Il termine di derivata parziale include una matrice identità 3 × 3, convenzionalmente non scritta per semplicità.

I campi di quark nella rappresentazione a tripletto sono scritti come vettori colonna:

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\end{pmatrix}},{\overline {\psi }}={\begin{pmatrix}{\overline {\psi }}_{1}^{*}\\{\overline {\psi }}_{2}^{*}\\{\overline {\psi }}_{3}^{*}\end{pmatrix}}}$

Il campo di quark ${\displaystyle \psi }$ appartiene alla rappresentazione fondamentale (3) e il campo di antiquark ${\displaystyle {\overline {\psi }}}$ appartiene alla rappresentazione coniugata complessa (3^*), il complesso coniugato è indicato con *.

La trasformazione di gauge di ogni campo di gluoni ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}}$ che lascia invariato il tensore di forza del campo di gluoni è:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}\rightarrow e^{i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\left({\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}+{\frac {i}{g_{s}}}\partial _{\alpha }\right)e^{-i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}}$

dove

${\displaystyle {\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)=t_{n}\theta ^{n}(\mathbf {r} ,t)\,,}$

è una matrice 3 × 3 costruita dalle matrici ${\displaystyle t_{n}}$ sopra e ${\displaystyle \theta ^{n}=\theta ^{n}({\vec {r}},t)}$ sono otto funzioni di gauge dipendenti dalla posizione spaziale r e dal tempo t . L'elevamento a potenza della matrice viene utilizzato nella trasformazione. La derivata covariante di gauge si trasforma in modo simile. Le funzioni ${\displaystyle \theta ^{n}}$ qui sono simili alla funzione di gauge ${\displaystyle \chi ({\vec {r}},t)}$ quando si cambia il quadripotenziale elettromagnetico A, nelle componenti dello spaziotempo:

${\displaystyle A'_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=A_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)-\partial _{\alpha }\chi (\mathbf {r} ,t)\,}$

lasciando il tensore elettromagnetico F invariante.

I campi di quark sono invarianti rispetto alla trasformazione di gauge;^[2]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)\rightarrow e^{ig{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

• Confinamento dei quark
• Matrici di Gell-Mann
• Campo (fisica)
• Tensore di Einstein
• Simmetria in meccanica quantistica
• Ciclo Wilson
• Gauge di Wess-Zumino

• (EN) K. Ellis, Quantum Chromodynamics (PDF), 2005 (archiviato dall'url originale il 26 settembre 2006).