Varietà piatta
In matematica, una varietà piatta è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente nulla. Gli esempi più importanti di varietà piatte in dimensione sono lo spazio euclideo ed il toro
Una varietà in cui la curvatura sezionale è invece costantemente 1 o -1 è detta rispettivamente ellittica o iperbolica.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Una varietà piatta è una varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque nulla, indipendentemente dal punto e dal piano su cui questa è valutata.
Varietà piatte complete
[modifica | modifica wikitesto]Ogni varietà piatta completa ha come rivestimento universale lo spazio euclideo , ed è quindi ottenuta da questo come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo di isometrie.
Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo è un sottogruppo discreto del gruppo di isometrie di (quest'ultimo ha una topologia naturale).
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Tori
[modifica | modifica wikitesto]L'esempio più importante di varietà piatta compatta è il toro -dimensionale
Per si ottiene l'usuale toro bidimensionale. Il toro si ottiene come quoziente dello spazio euclideo tramite il gruppo formato da tutte le traslazioni intere:
Più concretamente, la metrica sul toro è semplicemente quella indotta dall'immersione del toro dentro , ottenuta come prodotto dell'immersione della circonferenza dentro .
Bottiglia di Klein
[modifica | modifica wikitesto]La bottiglia di Klein è rivestita dal toro bidimensionale con un rivestimento di grado due. Tale rivestimento è una isometria, e quindi induce una metrica piatta anche sulla bottiglia di Klein.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Geometria locale euclidea
[modifica | modifica wikitesto]Ogni punto di una varietà piatta ha un intorno isometrico ad un aperto dello spazio euclideo. Localmente, su una varietà piatta vale quindi la geometria euclidea: tale geometria può però non valere globalmente.
Teorema di Bieberbach
[modifica | modifica wikitesto]Per il teorema di Bieberbach, ogni varietà piatta compatta è rivestita dal toro.
Caratteristica di Eulero
[modifica | modifica wikitesto]Una varietà piatta compatta ha caratteristica di Eulero nulla. Questo fatto può essere visto come conseguenza del teorema di Bieberbach, visto che il toro ha caratteristica di Eulero nulla e i rivestimenti preservano questa proprietà.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Varietà piatta, su MathWorld, Wolfram Research.