Utente:F.blanda1/Stati numero

In ottica quantistica, gli stati numero ${\displaystyle |n\rangle }$ ( o stati di numero fotonico) sono stati dello Spazio di Fock molto utilizzati nella teoria quantistica della luce, poiché rendono più semplice e immediato il calcolo e la comprensione dei risultati. Essi formano un set completo per gli stati di singolo modo e sono un punto di partenza naturale per lo studio della luce di singolo modo.^[1]

A fronte della loro semplicità matematica vi è una grossa difficoltà nel generare sperimentalmente gli stati numero; pertanto è necessario utilizzare processi più complessi, che includono più eccitazioni, per ottenere un'interpretazione realistica della maggioranza degli esperimenti di ottica quantistica.

Il set degli stati numero è la base la cui combinazione lineare forma gli stati coerenti.

Gli stati numero sono gli autostati dell'operatore numero e dell'hamiltoniana che descrive il campo elettromagnetico.

La forma dell'energia del campo elettromagnetico segue quella dell'oscillatore armonico quantistico, pertanto l'energia associata al campo è:

${\displaystyle {\widehat {H}}|n\rangle =({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}+{1 \over 2})|n\rangle =({\widehat {n}}+{1 \over 2})|n\rangle =(n+{1 \over 2})\hbar \omega =E_{n}|n\rangle .}$

L'operatore numero che agisce sullo stato n-essimo risulta essere:

${\displaystyle {\widehat {n}}|n\rangle =n|n\rangle .}$

Conoscere l'autovalore dell'operatore numero significa conoscere il livello di eccitazione del campo che stiamo considerando.

I due operatori, come mostrato dal commutatore

${\displaystyle [{\widehat {H}},{\widehat {n}}]=0,}$

risultano essere simultaneamente diagonalizzabili e quindi gli stati numero possono essere opportunamente utilizzati anche in quelle situazioni in cui la trattazione diverrebbe, altrimenti, più ostica.

Come ovvia conseguenza si ha anche:

${\displaystyle {\widehat {H}}|n\rangle =\hbar \omega ({\widehat {X}}^{2}+{\widehat {Y}}^{2})|n\rangle =\hbar \omega (n+{1 \over 2})|n\rangle }$

dove ${\displaystyle ({\widehat {X}}^{2}+{\widehat {Y}}^{2})}$ è la rappresentazione in funzione degli operatori di quadratura dell'hamiltoniana dell'oscillatore armonico quantistico associato al campo elettromagnetico.

I valori di aspettazione degli operatori di quadratura sono:

${\displaystyle \langle n|{\widehat {X}}|n\rangle =\langle n|{\widehat {Y}}|n\rangle =0}$

e

${\displaystyle (\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}={1 \over 2}(n+{1 \over 2}).}$

Gli stati numero hanno proprietà identiche per le quadrature ${\textstyle {\widehat {X}}}$ e ${\displaystyle {\widehat {Y}}}$, la varianza ha il minor valore possibile per ${\textstyle |n\rangle =|0\rangle }$ rappresentando un esempio di stato di quadratura a incertezza minima.

Dal paragrafo precedente è possibile dedurre una delle principali proprietà degli stati numero, ovvero quella di non avere alcuna incertezza sul numero di fotoni, infati la varianza risulta essere:

${\displaystyle (\Delta n)^{2}=0;}$

e, più in generale, il valore atteso di una qualsiasi potenza del numero di fotoni è semplicemente:

${\displaystyle \langle n^{r}\rangle =n^{r}}$

Il grado di coerenza del secondo ordine, ${\displaystyle g^{(2)}}$, per lo stato numero ${\displaystyle |n\rangle }$ segue dalla più generale relazione:

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\langle n(n-1)\rangle \over \langle n\rangle ^{2}}={\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle \over \langle n\rangle ^{2}}=1+{(\Delta n)^{2}-\langle n\rangle \over \langle n\rangle ^{2}},}$

quindi, in questo caso si ha:

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1-{1 \over n}}$ per ${\displaystyle n\geq 1}$

che nel caso in cui si tratta radiazione a singolo modo si ha ${\displaystyle g^{(2)}<1}$ se la luce è di tipo non classico.