Utente:Anonimo4440/Sandbox

Prima di procedere con la dimostrazione, bisogna fare una premessa: gli autovettori sono i vettori non nulli per cui un endomorfismo ${\displaystyle T\colon V\to V}$(dove ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale) manda un vettore nel prodotto di quel vettore per uno scalare. Tale scalare è detto autovalore. Ogni endomorfismo può essere associato, una volta fissata una base, a un'unica matrice detta matrice associata. Tale matrice è diagonalizzabile se esiste una base di ${\displaystyle V}$ composta da autovettori dell'endomorfismo.

Si considerino l'endomorfismo ${\displaystyle T\colon V\to V}$, con ${\displaystyle n=\dim V}$, la matrice associata ${\displaystyle A}$ e il sottospazio

${\displaystyle W=V_{1}\oplus {V_{2}}\oplus \ldots \oplus V_{k},}$

dove ${\displaystyle V_{i}}$ è l'autospazio generato da ${\displaystyle \lambda _{i}}$ che è un autovalore della matrice ${\displaystyle A}$. Ognuno di questi autovalori è distinto e quindi l'intersezione tra coppie di autospazi è il vettore nullo.

Ora ${\displaystyle \dim W=n}$ se e solo se la matrice ${\displaystyle A}$ è diagonalizzabile. Quest'uguaglianza, infatti, equivale all'esistenza di una base di autovettori.

Dobbiamo dimostrare che tale uguaglianza si verifica se e solo se si verificano le condizioni del teorema di diagonalizzabilità.

Consideriamo la disuguaglianaza seguente:

${\displaystyle \dim W=\dim V_{1}+\dim V_{2}+\ldots +\dim V_{k}=m_{\text{geo}}(\lambda _{1})+m_{\text{geo}}(\lambda _{2})+\ldots +m_{\text{geo}}(\lambda _{k})\leq m_{\text{alg}}(\lambda _{1})+m_{\text{alg}}(\lambda _{2})+\ldots +m_{\text{alg}}(\lambda _{k})\leq n,}$

dove ${\displaystyle m_{\text{alg}}(\lambda )}$ e ${\displaystyle m_{\text{geo}}(\lambda )}$ sono rispettivamente la molteplicità algebrica e geometrica dell'autovalore ${\displaystyle \lambda }$. Chiaramente ${\displaystyle \dim W=n}$ se e solo se entrambe le disuguaglianze sono delle uguaglianze. La somma delle molteplicità algebriche è uguale alla somma delle molteplicità geometriche se e solo se ${\displaystyle m_{\text{geo}}(\lambda _{i})=m_{\text{alg}}(\lambda _{i})}$, per ogni ${\displaystyle i}$. La somma delle molteplicità algebriche è uguale a ${\displaystyle n}$ se e solo se il polinomio caratteristico ha ${\displaystyle n}$ radici nel campo contate con le loro molteplicità.

Bruno (PDF), su people.dm.unipi.it. URL consultato il Martelli. Testo " Geometria e Algebra linaere" ignorato (aiuto)