Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ e un operatore lineare ${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}}$, ad ogni tensore ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{q}^{p}({\mathcal {W}})}$ associa un tensore dello stesso tipo su ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ si considerino due varietà lisce ${\displaystyle {\mathcal {M,N}}}$ qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ un'applicazione liscia ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}}$ e al tensore ${\displaystyle T}$ un campo tensoriale liscio su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$.

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione ${\displaystyle \Phi }$) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward.

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano ${\displaystyle {\mathcal {M,N}}}$ due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}}$ e ${\displaystyle f\colon {\mathcal {N}}\to \mathbb {R} }$. Il pull-back di ${\displaystyle f}$ tramite ${\displaystyle \Phi }$ che si denoterà ${\displaystyle \Phi ^{*}f\colon {\mathcal {M}}\to \mathbb {R} }$ risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

${\displaystyle f\circ \Phi =f(\Phi ).}$

Ora consideriamo due spazi vettoriali ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali ${\displaystyle {\mathcal {V^{*},W^{*}}}}$; sia ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {W}}^{*}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}},}$ allora il pull-back di ${\displaystyle \alpha }$ tramite ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ definito come ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}\colon {\mathcal {W}}^{*}\to {\mathcal {V}}^{*},}$ cioè ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}\alpha \in {\mathcal {V}}^{*}}$ e tale che per ogni ${\displaystyle v\in {\mathcal {V}}}$ sia così definito:

${\displaystyle \langle v,{\mathcal {L}}^{*}\alpha \rangle :=\langle {\mathcal {L}}v,\alpha \rangle .}$

L'operatore ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}}$ prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back, cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo ${\displaystyle (0,0)}$, cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo ${\displaystyle (0,1)}$ su ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$.

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo ${\displaystyle (0,1)}$ ed anche in questo caso gli spazi vettoriali ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ potranno non avere la stessa dimensione e quindi ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ non essere invertibile. Consideriamo ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {W}}),}$ allora si definisce ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {V}})}$ in questo modo: dati ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}\in {\mathcal {V}}}$ si ha

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}):=T({{\mathcal {L}}v_{1},{\mathcal {L}}v_{2},\ldots ,{\mathcal {L}}v_{p}}).}$

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se si considera l'applicazione multilineare così definita:

${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {W}}^{*}\times {\mathcal {W}}^{*}\times \cdots \times {\mathcal {W}}^{*}\to \otimes ^{p}{\mathcal {V}}^{*}}$

${\displaystyle \phi (\beta ^{1},\dots ,\beta ^{p})={\mathcal {L}}^{*}\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {L}}^{*}\beta ^{p},}$

con ${\displaystyle \beta ^{i}\in {\mathcal {W}}^{*},}$ per ${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$, per la proprietà universale di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

${\displaystyle \otimes ^{p}{\mathcal {L}}^{*}\colon \otimes ^{p}{\mathcal {W}}^{*}\to \otimes ^{p}{\mathcal {V}}^{*}}$

tale che

${\displaystyle \otimes ^{p}{\mathcal {L}}^{*}(\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes \beta ^{p})={\mathcal {L}}^{*}\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {L}}^{*}\beta ^{p}.}$

Ora ricordando che ogni ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {W}})}$, data una base ${\displaystyle \eta _{i}\in {\mathcal {W}}^{*},}$ per ${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$ di ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{*}}$, ammette un'unica scrittura del tipo ${\displaystyle T^{i_{1},\dots ,i_{p}}\eta _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \eta _{i_{p}}}$, dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora si considerano due varietà lisce ${\displaystyle {\mathcal {M,N}}}$ con dimensione rispettivamente ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n,}$ un'applicazione ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}}$ liscia e un campo tensoriale ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{p}^{0}{\mathcal {N}}}$ liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trasferire" il campo tensoriale su ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Ogni applicazione ${\displaystyle \Phi }$ liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata ${\displaystyle T\Phi \colon T{\mathcal {M}}\to T{\mathcal {N}}}$, tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, in un punto ${\displaystyle M}$, fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ nel punto immagine ${\displaystyle \Phi (M)}$. Questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione ${\displaystyle \Phi }$.

Grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti ${\displaystyle \Phi ^{*}T\in \mathbf {T} _{p}^{0}{\mathcal {M}}}$ è così definito:

${\displaystyle \Phi ^{*}T|_{M}(X_{1},\ldots ,X_{p})=T|_{\Phi (M)}(T\Phi X_{1},\ldots ,T\Phi X_{p}),}$

dove ${\displaystyle M}$ è un punto sulla varietà ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ e ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}\in T{\mathcal {M}}}$.

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso si hanno due spazi vettoriali ${\displaystyle {\mathcal {V,W}}}$ con dimensione uguale, un isomorfismo ${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}}$, e un tensore ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{q}^{p}{\mathcal {W}}}$; il pull-back, dati ${\displaystyle \beta ^{1},\ldots ,\beta ^{p}\in {\mathcal {V^{*}}}}$ e ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{q}\in {\mathcal {V}}}$, per definizione è

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}T(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{p},v_{1},\ldots ,v_{q})=T({\mathcal {L^{*}}}^{-1}\beta ^{1},\ldots ,{\mathcal {L^{*}}}^{-1}\beta ^{p},{\mathcal {L}}v_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}v_{q}),}$

dove ${\displaystyle {\mathcal {L^{*}}}^{-1}}$ indica l'inverso dell'aggiunto che esiste perché ${\displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}^{*}={\mathcal {L^{*}}}^{-1},}$ infatti

${\displaystyle {\mathcal {L^{*}}}\colon {\mathcal {W^{*}}}\to {\mathcal {V^{*}}},}$

${\displaystyle {\mathcal {L^{*}}}^{-1}\colon {\mathcal {V^{*}}}\to {\mathcal {W^{*}}}.}$

Quindi la definizione è ben posta e nel caso di tensori ${\displaystyle (0,q)}$ coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta ${\displaystyle {\mathcal {M,N}}}$ devono la stessa dimensione e la funzione ${\displaystyle \Phi }$ deve essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, il suo pull-back risulta essere

${\displaystyle \Phi ^{*}T|_{M}(\alpha ^{1},\ldots ,\alpha ^{p},X_{1},\ldots ,X_{q})=T|_{\Phi (M)}(T\Phi ^{*-1}\alpha ^{1},\ldots ,T\Phi ^{*-1}\alpha ^{p},T\Phi X_{1},\ldots ,T\Phi X_{q}),}$

dove ${\displaystyle T\Phi }$ indica sempre l'applicazione tangente e ${\displaystyle \alpha ^{i}\in T^{*}{\mathcal {M}}\quad X_{j}\in T{\mathcal {M}}}$.

Si consideri il pull-back di un campo vettoriale ${\displaystyle X\in T{\mathcal {N}}}$; da quanto detto risulta:

${\displaystyle \Phi ^{*}X=T\Phi ^{-1}X\in {\mathcal {M}}.}$

Sia ora ${\displaystyle \gamma \colon I\in \mathbb {R} \to {\mathcal {N}}}$ tale che ${\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}=X,\quad \forall t\in I,}$ e ${\displaystyle \gamma (0)=N_{0}}$, cioè la soluzione del problema di Cauchy su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ con dato iniziale ${\displaystyle N_{0}}$.

Allora si ha che ${\displaystyle \Phi ^{-1}\circ \gamma }$ è soluzione del problema di Cauchy su ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ con dato iniziale ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(N_{0})}$ del campo vettoriale ${\displaystyle \Phi ^{*}X}$. Quindi se ora si considera il flusso ${\displaystyle \Psi _{t}^{X}}$ indotto dal campo vettoriale ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, il rispettivo flusso del campo vettoriale ${\displaystyle T\Phi ^{-1}X}$ su ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ risulta essere ${\displaystyle \Phi ^{-1}\circ \Psi _{t}^{X}\circ \Phi }$.

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti, cioè indipendenti dalla scelta di basi.

In questa sezione si mostra invece qual è l'espressione del pull-back sulle basi. Siano ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}\in {\mathcal {V}}}$ e ${\displaystyle \eta ^{1},\dots ,\eta ^{n}\in {\mathcal {V}}^{*}}$ una base su ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ e la rispettiva base duale su ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{*}}$, e siano ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in {\mathcal {W}}}$ e ${\displaystyle \varphi ^{1},\dots ,\varphi ^{n}\in {\mathcal {W}}^{*}}$ una base su ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ e la duale su ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{*}}$. L'operatore ${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}}$ rispetto a queste basi ha rappresentazione

${\displaystyle {\mathcal {L}}e_{i}={\mathcal {L}}_{i}^{j}f_{j},}$

con ${\displaystyle j}$ indice di riga e ${\displaystyle i}$ di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein (per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}}$ si rappresenta

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}\varphi ^{i}={\mathcal {L}}_{j}^{i}\eta ^{j}}$

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente ${\displaystyle ({\mathcal {L}}^{*}T)_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}}$ su tale base risulta

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}T(\eta ^{i_{1}},\dots ,\eta ^{i_{q}},e_{j_{1}},\dots ,e_{j_{p}},)=T({\mathcal {L}}_{\quad r_{1}}^{-1\ i_{1}}\varphi ^{r_{1}},\dots ,{\mathcal {L}}_{\quad r_{p}}^{-1\ i_{p}}\varphi ^{r_{p}},{\mathcal {L}}_{j_{1}}^{s_{1}}f_{s_{1}},\dots ,{\mathcal {L}}_{j_{q}}^{s_{q}}f_{s_{q}})={\mathcal {L}}_{\quad r_{1}}^{-1\ i_{1}}\cdots {\mathcal {L}}_{\quad r_{p}}^{-1\ i_{p}}\ T_{s_{1}\cdots s_{q}}^{r_{1}\cdots r_{p}}\ {\mathcal {L}}_{j_{1}}^{s_{1}}\cdots {\mathcal {L}}_{j_{q}}^{s_{q}},}$

dove ${\displaystyle T_{s_{1}\cdots s_{q}}^{r_{1}\cdots r_{p}}=T(\varphi ^{i_{1}},\dots ,\varphi ^{i_{p}},f_{j_{1}},\dots ,f_{j_{q}}).}$

Notiamo che se ${\displaystyle {\mathcal {W}}={\mathcal {V}}}$, allora ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ è l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensori rispetto al cambio di base.

Sia data una terza varietà ${\displaystyle Q}$ e un diffeomorfismo ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {N}}\to {\mathcal {Q}},}$ allora il pull-back di un campo tensoriale ${\displaystyle T\in \mathbf {T} _{q}^{p}Q}$ su ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ è il pull-back della composizione di funzioni ${\displaystyle \Psi \circ \Phi }$ che è un diffeomorfismo tra ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ e dato che l'applicazione tangente ${\displaystyle T(\Psi \circ \Phi )=T\Psi \circ T\Phi }$, si ha la seguente relazione:

${\displaystyle (\Psi \circ \Phi )^{*}T=\Phi ^{*}\Psi ^{*}T.}$

Da questa relazione, dato che il pull-back della funzione identità è l'identità, si ha:

${\displaystyle \Phi ^{-1*}=\Phi ^{*-1}.}$

Date due varietà ${\displaystyle {\mathcal {M,N}}}$, una funzione liscia ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}}$, una q-forma ${\displaystyle \theta }$ su ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, si ha la seguente uguaglianza:

${\displaystyle \Phi ^{*}\mathbf {d} \theta =\mathbf {d} \Phi ^{*}\theta ,}$

dove ${\displaystyle \mathbf {d} }$ indica la derivata esterna.

Si noti che è un'uguaglianza tra ${\displaystyle (q+1)}$-forme su ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, difatti questa relazione è verificata se è vera l'uguaglianza tra:

${\displaystyle \Phi ^{*}df=d\Phi ^{*}f,}$

dove ${\displaystyle f}$ è una funzione scalare liscia su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ (quindi può essere vista come una 0-forma su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$). Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

${\displaystyle \Phi ^{*}df=df\circ T\Phi =d(f\circ \Phi ).}$

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una ${\displaystyle q}$-forma ${\displaystyle \Omega =\omega _{i_{1}\dots i_{q}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{q}}}$ è:

${\displaystyle d\Omega ={\frac {\partial \omega _{i_{1}\dots i_{q}}}{\partial x^{j}}}dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{q}},}$

con ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{q},}$ e ${\displaystyle \omega \colon {\mathcal {N}}\to \mathbb {R} }$ liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore ${\displaystyle T}$ lungo un campo vettoriale ${\displaystyle X}$, vi è la seguente relazione:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Phi ^{*}X}\Phi ^{*}T=\Phi ^{*}{\mathcal {L}}_{X}T.}$

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che ${\displaystyle \Phi ^{*-1}}$ non dipende dal tempo; da cui:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Phi ^{*}X}\Phi ^{*}T={\frac {d}{dt}}\Phi ^{*}\Psi _{t}^{X*}\Phi ^{-1*}\Phi ^{*}T=\Phi ^{*}{\frac {d}{dt}}\Psi _{t}^{X*}T=\Phi ^{*}{\mathcal {L}}_{X}T.}$

• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993. Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
• Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1. For generalizations to infinite dimensions.
• Lang, S., Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98593-0. For generalizations to infinite dimensions.

• Derivata di Lie
• Derivata esterna

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