Numero pratico

Un numero $n$ si dice pratico quando tutti i numeri interi positivi $m<n$ si possono scrivere in almeno una maniera come somma di divisori distinti di $n$ . I primi numeri pratici sono: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54^[1].

Per esempio, 8 è un numero pratico poiché tutti gli interi da 1 a 7 possono essere scritti come somma dei suoi divisori 1, 2, 4 e 8. La proprietà è verificata per i suoi divisori e inoltre si ha che $3=2+1$ , $5=4+1$ , $6=4+2$ e $7=4+2+1$ .

Come i numeri primi, i numeri pratici si distribuiscono in maniera irregolare sui numeri naturali, e se $p(x)$ è il numero di numeri pratici che non superano $x$ , si può dimostrare che per due opportune costanti $c_{1}$ e $c_{2}$ :

c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}}

.

Nel 1984, furono proposte delle congetture simili a note congetture relative ai numeri primi: la congettura di Goldbach e la congettura dei numeri primi gemelli. Queste congetture furono poi dimostrate per i numeri pratici da Melfi nel 1996: ogni numero pari si può esprimere come una somma di due numeri pratici; esistono infinite terne di numeri pratici gemelli della forma $m,m+2,m+4$ .