Metodo delle corde

In matematica, e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle corde (o metodo delle secanti con estremo fisso^[1]) è uno dei metodi di iterazione funzionale più semplici per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma ${\displaystyle \,f(x)=0}$. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel costruire una successione di punti con il seguente criterio: assegnato un punto iniziale ${\displaystyle x_{0}}$, per ogni ${\displaystyle n\geq 0}$ il punto ${\displaystyle x_{n+1}}$ sia lo zero della retta passante per il punto ${\displaystyle (x_{n},f(x_{n}))}$ e di coefficiente angolare

${\displaystyle m={\frac {f(a)-f(x_{n})}{a-x_{n}}},}$

ovvero quello della retta passante per i punti ${\displaystyle (x_{n},f(x_{n}))}$ e ${\displaystyle (a,f(a)).}$

Iterando il procedimento del calcolo dell'intersezione delle varie rette con l'asse delle ascisse, si ottiene la relazione di ricorrenza

${\displaystyle x_{n+1}=a-f(a){\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}.}$

Il metodo delle corde converge linearmente se, detta ${\displaystyle \alpha }$ la soluzione corretta, vale

${\displaystyle 0<{\frac {f'(\alpha )}{m}}<2.}$

In altri termini, ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle f'(\alpha )}$ devono avere lo stesso segno e l'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ deve soddisfare la condizione

${\displaystyle b-a<2{\frac {f(b)-f(a)}{f'(\alpha )}}.}$

Negli altri casi il metodo potrebbe non convergere affatto.

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo delle tangenti
• Metodo delle secanti

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