Metodo dei nodi

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In elettrotecnica e in particolare in teoria dei circuiti si definisce metodo dei nodi o più propriamente metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito. Si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, ma in caso di reti con generatori di tensione ideali si può ricorrere ad una sua variante.

Il vantaggio principale del metodo dei potenziali ai nodi è che per una rete con nodi e lati richiede la soluzione di solo equazioni, a differenza delle equazioni ai nodi e le equazioni alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si assume come potenziale di riferimento, ora sono le tensioni tra i nodi 1 2 3 e il nodo di riferimento.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di , è la corrente passante per e è la conduttanza della resistenza

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

Riordinando il sistema per

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili. Non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo: utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generale

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La rete ha n nodi, siano le tensioni ai nodi.

Il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale

dove

conduttanze che convergono al nodo

conduttanze tra il nodo e il nodo

correnti dei generatori di corrente che convergono al nodo

Metodo dei potenziali ai nodi modificato

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Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione; tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di equazioni, dove è il numero di generatori ideali di tensione, per cui è vantaggioso fintanto che , visto che le equazioni di Kirchhoff delle tensioni sono e le equazioni dei potenziali ai nodi sono .

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni e della corrente incognita che attraversa il generatore . A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da con i potenziali ai suoi capi.

riordinando per e scrivendo in forma matriciale

e non resta che risolvere il sistema.

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