Funzioni di Bourget-Giuliani

Le funzioni di Bourget-Giuliani furono introdotte nel 1861 dal matematico francese Bourget, in relazione ai problemi di astronomia. Sono definite dall'integrale:

$J_{n,k}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta )^{k}\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta$ dove $n\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {N}$ .

Per $k=0$ , le funzioni di Bourget-Giuliani si riducono alle funzioni di Bessel:

$J_{n,0}(z)=J_{n}(z)$ .

Nel 1888, il matematico italiano Giuliani dimostrò che le funzioni di Bourget-Guiliani sono soluzione dell'equazione differenziale del quarto ordine:

$z^{2}{\frac {d^{4}}{dz^{4}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d^{3}}{dz^{3}}}J_{n,k}(z)+[2z^{2}+(k+2)^{2}-n^{2}]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d}{dz}}J_{n,k}(z)+(z^{2}+k+2-n^{2})J_{n,k}(z)=0$

La trasformata di Laplace delle funzioni di Bourget-Giuliani fu ottenuta nel 1935 dal matematico francese Humbert. Nel 1938, il matematico americano J. Rosen ha definito le funzioni di Bourget-Guiliani per ogni $n,k\in \mathbb {R}$ a partire dall'equazione di Giuliani.

Bibliografia

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(FR) J. Bourget Mémoire sur les nombres de Cauchy J. Math. Pures App. 6 p. 33 (1861)
G. Giuliani Alcune osservazioni sopra le funzioni sferiche di ordine superiore al seconde e sopra altre funzioni che se ne possono dedurre, Giornale di Mat. (Battaglini) 26 p. 155 (1888).
(EN) G. N. Watson The Theory of Bessel functions ch. 10, p. 326 (Cambridge University Press, 1922)
(EN) P. Humbert Some new operational representations Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 4, p. 232 (1935)
(FR) N. W. Mc Lachlan e P. Humbert Formulaire pour le calcul symbolique coll. Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 100, p. 31 (Gauthier-Villars, Parigi, 1950)
(EN) J. Rosen Some Generalizations of Bessel Functions^{[collegamento interrotto]} Tohoku Math. J. 45, p. 229 (1939)